Macaulay Duration vs. Modified Duration: Jaký je rozdíl?

Macaulay Duration vs.Upravená doba trvání: Přehled

Macaulayova durace a modifikovaná durace se používají především k výpočtu durace dluhopisů.Macaulayova durace vypočítává vážený průměr času, než držitel dluhopisu obdrží peněžní toky dluhopisu.Naopak modifikovaná durace měří cenovou citlivost dluhopisu, když dojde ke změně výnosu do splatnosti.

Klíčové věci

  • Existuje několik různých způsobů, jak přistupovat ke konceptu trvání nebo cenové citlivosti aktiv s pevným výnosem na změny úrokových sazeb.
  • Macaulayova durace je vážená průměrná doba do splatnosti peněžních toků z dluhopisu a je často používána manažery portfolia, kteří používají strategii imunizace.
  • Modifikovaná durace dluhopisu je upravenou verzí Macaulayovy durace a používá se k výpočtu změn durace a ceny dluhopisu pro každou procentní změnu výnosu do splatnosti.

Trvání Macaulay

Trvání Macaulay se vypočítá vynásobením časového období periodickou výplatou kuponu a vydělením výsledné hodnoty 1 plus periodického výnosu zvýšeného do doby do splatnosti.Dále se vypočítá hodnota pro každé období a sečte se.Potom se výsledná hodnota přičte k celkovému počtu období vynásobenému hodnotou par, děleno 1, plus periodický výnos zvýšený na celkový počet období.Poté se hodnota vydělí aktuální cenou dluhopisu.

MacaulayDuration = ( t = 1 n t C ( 1 + y ) t + n M ( 1 + y ) n ) Aktuální cena dluhopisu kde: C = periodická kuponová platba y = periodický výnos M = hodnota splatnosti dluhopisu n = trvání vazebních období begin{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{Aktuální cena dluhopisu}} &textbf{kde:} &C=text{periodická platba kupónem} &y=text{periodický výnos} &M=text{dluhopisu hodnota splatnosti} &n=text{doba trvání dluhopisu v obdobích} konec{zarovnáno} MacaulayDuration=Aktuální cena dluhopisu(t = 1n(1+r)tt∗C+(1+r)nn∗M)kde:C=periodická kuponová platbay=periodický výnosM=hodnota splatnosti dluhopisun=trvání vazebních období

Cena dluhopisu se vypočítá vynásobením peněžního toku 1 mínus 1 děleno 1 plus výnos do splatnosti zvýšený na počet období dělený požadovaným výnosem.Výsledná hodnota se přičte k nominální hodnotě neboli hodnotě splatnosti dluhopisu dělené 1 plus výnos do splatnosti zvýšený na celkový počet období.

Vezměme si například tříletý dluhopis se splatností 1 000 USD a kuponovou sazbou 6 % vyplácený pololetně.Dluhopis vyplácí kupon dvakrát ročně a splácí jistinu při poslední platbě.Vzhledem k tomu se v příštích třech letech očekávají následující peněžní toky:

Období1 : $ 30 Období2 : $ 30 Období3 : $ 30 Období4 : $ 30 Období5 : $ 30 Období6 : $ 1 , 030 begin{aligned} &text{Období 1}: 30 $ &text{Období 2}: 30 $ &text{Období 3}: 30 $ &text{Období 4}: 30 $ &text{Období 5}: 30 $ &text{Období 6}: 1 030 $ konec{zarovnáno} Období1: 30 dolarůObdobí2: 30 dolarůObdobí3: 30 dolarůObdobí4: 30 dolarůObdobí5: 30 dolarůObdobí6: 1 030 USD

Se známými obdobími a peněžními toky je třeba pro každé období vypočítat diskontní faktor.Vypočítá se jako 1 ÷ (1 + r)n, kde r je úroková sazba a n je číslo příslušného období.Úroková sazba r složená pololetně je 6 % ÷ 2 = 3 %.Proto by diskontní faktory byly:

Období 1Slevový faktor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0,9709 Period2DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0,9426 Period3DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Období5Slevový faktor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Period6DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 begin{aligned} &text{Slevový faktor období 1}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 1 = 0,9709 &text{Slevový faktor období 2}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 2 = 0,9426 &text{Období 3 Slevový faktor}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Slevový faktor období 4}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Slevový faktor období 5}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 5 = 0,8626 &text{Slevový faktor období 6}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 6 = 0,8375 konec{zarovnáno} Období 1Slevový faktor:1÷(1+,03)1=0,9709Period2DiscountFactor:1÷(1+,03)2=0,9426Period3DiscountFactor:1÷(1+,03)3=0,9151Period4DiscountFactor:1÷(1+,03)4=0,8885Období5Slevový faktor:1÷(1+,03)5=0,8626Period6DiscountFactor:1÷(1+,03)6=0,8375

Dále vynásobte peněžní tok za období číslem období a jeho odpovídajícím diskontním faktorem, abyste zjistili současnou hodnotu peněžního toku:

Období1 : 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29.13 Období2 : 2 × $ 30 × 0,9426 = $ 56,56 Období3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82,36 Období4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106,62 Období5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129,39 Období6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175,65 Doba = 1 6 = $ 5 , 579,71 = čitatel begin{aligned} &text{Období 1}: 1krát $30krát 0,9709 = 29,13 $ &text{Období 2}: 2krát $30krát 0,9426 = 56,56 $ &text{Období 3}: 3krát $30krát 0,9156 Peri $8{text }: 4krát $30 krát 0,8885 = 106,62 $ &text{Období 5}: 5krát $30krát 0,8626 = 129,39 $ &text{Období 6}: 6krát $1 030 krát 0,8375 = $5,175,65{} ^175,65 za text } = 5 579,71 $ = text{čitatel} konec{zarovnáno} Období1:1×30$×0,9709=29,13$Období2:2×30$×0,9426=56,56$Období3:3×30$×0,9151=82,36$Období4:4 × 30 $ × 0,8885 = 106,62 $Období5:5×30$×0,8626=129,39$Období6:6 × 1 030 × 0,8375 = 5 175,65 USDDoba=16=5 579,71 $ =čitatel

Aktuální cena dluhopisu = PVCashFlows = 1 6 Aktuální cena dluhopisu = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 Aktuální cena dluhopisu = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 Aktuální cena dluhopisu = $ 1 , 000 Aktuální cena dluhopisu = jmenovatel begin{aligned} &text{Aktuální cena dluhopisu} = suma_{text{ PV Cash Flows } = 1} ^ {6} &phantom{ text{Aktuální cena dluhopisu} } = 30 div (1 + 0,03) ^ 1 + 30 div ( 1 + 0,03 ) ^ 2 &phantom{ text{Aktuální cena dluhopisu} = } + cdots + 1030 div (1 + 0,03) ^ 6 &phantom{ text{Aktuální cena dluhopisu} } = $1,000 &phantom{ text{Aktuální Cena dluhopisu} } = text{jmenovatel} konec{zarovnáno} Aktuální cena dluhopisu=PVCashFlows=16Aktuální cena dluhopisu=30÷(1+,03)1+30÷(1+,03)2Aktuální cena dluhopisu=+⋯+1030÷(1+,03)6Aktuální cena dluhopisu= 1 000 USDAktuální cena dluhopisu=jmenovatel

(Všimněte si, že vzhledem k tomu, že kupónová sazba a úroková sazba jsou stejné, bude dluhopis obchodovat za nominální hodnotu.)

MacaulayDuration = $ 5 , 579,71 ÷ $ 1 , 000 = 5.58 begin{aligned} &text{Macaulay Duration} = 5 579,71 $ div $ 1 000 = 5,58 end{zarovnáno} MacaulayDuration= 5 579,71 $ ÷ 1 000 $ = 5,58

Všimněte si, že tento výpočet durace je pro 5,58 půl roku, protože dluhopis se vyplácí pololetně.Roční durace je tedy 5,58/2 = 2,79 roku, což je méně než tři roky, ve kterých je dluhopis splatný.

Upravená doba trvání

ModifiedDuration = MacauleyDuration ( 1 + Y T M n ) kde: Y T M = výnosová zralost n = počet kuponových období za rok begin{aligned} &text{Upravená doba trvání}=frac{text{Macauley Duration}}{left( 1 + frac{YTM}{n}vpravo)} &textbf{where:} &YTM=text{výnos do splatnosti} &n =text{počet období kupónu za rok} konec{zarovnáno} ModifiedDuration=(1+nYTM)MacauleyDurationkde:YTM=výnosová zralostn=počet kuponových období za rok

Modifikovaná durace je upravená verze Macaulayovy durace, která zohledňuje změnu výnosu do splatnosti.Vzorec pro modifikovanou duraci je hodnota Macaulayovy durace dělená 1 plus výnos do splatnosti dělená počtem kuponových období za rok.Modifikovaná durace určuje změny durace a ceny dluhopisu pro každou procentní změnu výnosu do splatnosti.

Podívejme se například na náš dluhopis z výše uvedeného příkladu, u kterého byla vypočtena doba trvání Macaulay 5,58 roku.Upravená doba trvání tohoto dluhopisu by byla:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71 %

Vzorec pro výpočet procentuální změny ceny dluhopisu je změna výnosu vynásobená zápornou hodnotou modifikované durace vynásobená 100 %.Tato výsledná procentní změna dluhopisu při zvýšení úrokové sazby z 8 % na 9 % je vypočítána na -2,71 %.Pokud tedy úrokové sazby přes noc stoupnou o 1 %, očekává se, že cena dluhopisu klesne o 2,71 %.

Upravené durační a úrokové swapy

Upravená doba trvání by mohla být prodloužena, aby se vypočítal počet let, po které by úrokový swap splatil cenu zaplacenou za swap.Úrokový swap je výměna jednoho souboru peněžních toků za jiný a je založen na specifikacích úrokových sazeb mezi stranami.

Modifikovaná durace se vypočítá vydělením dolarové hodnoty změny o jeden bazický bod části úrokového swapu nebo řady peněžních toků současnou hodnotou série peněžních toků.Hodnota se pak vynásobí 10 000.Upravenou dobu trvání pro každou sérii peněžních toků lze také vypočítat vydělením dolarové hodnoty změny základního bodu série peněžních toků nominální hodnotou plus tržní hodnotou.Zlomek se pak vynásobí 10 000.

Pro výpočet upravené doby trvání úrokového swapu je nutné vypočítat upravenou dobu trvání obou větví.Rozdíl mezi dvěma modifikovanými duracemi je modifikovaná durace úrokového swapu.Vzorec pro modifikovanou duraci úrokového swapu je modifikovaná durace přijímající větve mínus modifikovaná durace platební větve.

Předpokládejme například, že banka A a banka B uzavřou úrokový swap.Upravená doba trvání přijímající části swapu se počítá jako devět let a upravená doba trvání platební části se počítá jako pět let.Výsledná modifikovaná durace úrokového swapu je čtyři roky (9 let – 5 let).

Klíčové rozdíly

Vzhledem k tomu, že Macaulayova durace měří váženou průměrnou dobu, po kterou musí investor držet dluhopis, dokud se současná hodnota peněžních toků dluhopisu nerovná částce zaplacené za dluhopis, je často používána manažery dluhopisů, kteří chtějí řídit riziko dluhopisového portfolia pomocí imunizačních strategií.

Naproti tomu modifikovaná durace identifikuje, jak moc se mění durace pro každou procentní změnu výnosu, a zároveň měří, jak moc změna úrokových sazeb ovlivní cenu dluhopisu.Modifikovaná durace tak může investorům dluhopisů poskytnout míru rizika tím, že přiblíží, o kolik by cena dluhopisu mohla klesnout se zvýšením úrokových sazeb.Je důležité si uvědomit, že ceny dluhopisů a úrokové sazby mají vzájemně inverzní vztah.

Jaký je rozdíl mezi Macaulay a upravenou dobou trvání?

Macaulayova durace je vážený průměr doby do splatnosti peněžních toků z dluhopisu.

Modifikovaná durace je cenová citlivost dluhopisu na změny úrokových sazeb, která bere Macaulayovu duraci a upravuje ji podle výnosu dluhopisu do splatnosti (YTM).

Je upravená doba trvání vždy kratší než doba trvání Macaulay?

Protože modifikovaná durace dělí modifikovanou duraci jednou plus modifikovaný výnos do splatnosti, bude vždy menší než Macaulayova durace – s výjimkou vzácných případů, kdy je modifikovaná YTM rovna nule, v takovém případě budou obě stejné, protože jmenovatel bude 1 + 0 % = 1.

Co je trvání dolaru?

Durace dolaru měří změnu hodnoty dluhopisu v dolaru na změnu tržní úrokové sazby, což poskytuje přímý výpočet částky v dolaru při 1% změně sazeb.