Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF)

Co je funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF)?

Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) je statistický výraz, který definuje rozdělení pravděpodobnosti (pravděpodobnost výsledku) pro diskrétní proměnnou (např. akcie nebo ETF) na rozdíl od spojité náhodné proměnné.Rozdíl mezi diskrétní náhodnou proměnnou je v tom, že můžete identifikovat přesnou hodnotu proměnné.

Normální rozložení je běžným příkladem PDF, které tvoří dobře známý tvar zvonové křivky.

Ve financích používají obchodníci a investoři soubory PDF, aby pochopili, jak jsou rozdělovány cenové výnosy, aby mohli vyhodnotit svůj profil rizika a očekávaného výnosu.

Klíčové věci

  • Funkce hustoty pravděpodobnosti jsou statistická míra používaná k měření pravděpodobného výsledku diskrétní hodnoty (např. ceny akcie nebo ETF).
  • Soubory PDF jsou vyneseny do grafu, který se obvykle podobá zvonové křivce, přičemž pravděpodobnost výsledků leží pod křivkou.
  • Diskrétní proměnnou lze měřit přesně, zatímco spojitá proměnná může mít nekonečné hodnoty.
  • Soubory PDF lze použít k posouzení potenciálního rizika/odměny konkrétního cenného papíru nebo fondu v portfoliu.
  • Často se uvádí normální rozdělení, které tvoří křivku ve tvaru zvonu.

Pochopení funkcí hustoty pravděpodobnosti (PDF)

Soubory PDF se používají ve financích k posouzení rizika konkrétního cenného papíru, jako je jednotlivá akcie nebo ETF.

Obvykle jsou znázorněny na grafu s normální zvonovou křivkou indikující neutrální tržní riziko a zvonkem na obou koncích značícím větší nebo menší riziko/odměnu.Když je PDF graficky znázorněno, bude oblast pod křivkou udávat interval, do kterého bude proměnná spadat.Celková plocha v tomto intervalu grafu se rovná pravděpodobnosti výskytu diskrétní náhodné veličiny.

Přesněji řečeno, protože absolutní pravděpodobnost, že spojitá náhodná proměnná získá jakoukoli konkrétní hodnotu, je nulová kvůli nekonečnému souboru možných hodnot, lze hodnotu PDF použít k určení pravděpodobnosti náhodné proměnné spadající do určitého rozsahu. hodnot.

Obrázek Julie Bang © Investopedia2020

Distribuce vychýlená na pravou stranu křivky naznačuje vyšší vzestupnou odměnu, zatímco distribuce vychýlená doleva ukazuje na větší riziko poklesu pro obchodníky.

Rozdělení pravděpodobnosti lze také použít k vytvoření funkcí kumulativního rozdělení (CDF), které sčítají pravděpodobnost výskytů kumulativně a vždy budou začínat na nule a končit na 100 %.

Investoři by měli používat soubory PDF jako jeden z mnoha nástrojů pro výpočet celkového rizika/odměny ve hře v jejich portfoliích.

Diskrétní vs.Spojité funkce rozdělení pravděpodobnosti

Soubory PDF mohou popisovat buď diskrétní, nebo spojitá data.Rozdíl je v tom, že diskrétní proměnné mohou nabývat pouze konkrétních hodnot, jako jsou celá čísla, ano vs. ne, denní doby a tak dále.Spojitá proměnná naproti tomu obsahuje všechny hodnoty podél křivky, včetně velmi malých zlomků nebo desetinných míst až na teoreticky nekonečný počet míst.

Diskrétní vs.Průběžné PDF.

Obrázek Julie Bang © Investopedia2020

Výpočet funkce rozdělení pravděpodobnosti

Soubory PDF jsou často charakterizovány průměrem, standardní odchylkou, špičatostí a šikmostí.

  • Průměr: aritmetický průměr
  • Směrodatná odchylka: rozptyl dat o průměru
  • Kurtosis: popisuje "tloušťku" ocasů PDF
  • Šikmost: odkazuje na odchylky v symetrii PDF

Výpočet PDF a jeho grafické vykreslení může zahrnovat složité výpočty, které používají diferenciální rovnice nebo integrální počet.V praxi jsou pro výpočet funkce rozdělení pravděpodobnosti vyžadovány grafické kalkulátory nebo statistické softwarové balíčky.

Normální distribuce

Jako příklad je výpočet pro PDF normálního rozdělení následující:

Vzorec normálního rozdělení.

kde:

  • x= hodnota proměnné nebo zkoumaných dat a f(x) pravděpodobnostní funkce
  • μ = průměr
  • σ = směrodatná odchylka

Normální rozdělení má vždy šikmost = 0 a špičatost = 3,0.

Další funkce rozdělení pravděpodobnosti

Zatímco normální distribuce je často nejcitovanější a nejznámější, existuje několik dalších PDF.

Jednotná distribuce

Nejjednodušší a nejoblíbenější distribucí je jednotná distribuce, ve které mají všechny výsledky stejnou šanci nastat.Šestihranná matrice má rovnoměrné rozložení.Každý výsledek má pravděpodobnost asi 16,67 % (1/6).

Obrázek Julie Bang © Investopedia2020

Binomické rozdělení

Binomické rozdělení představuje data, která mohou nabývat pouze jedné ze dvou hodnot, jako je hod mincí (hlavy vs. ocasy) nebo logické výrazy, které mají podobu ano/ne, zapnuto/vypnuto atd.

Histogram binomického rozdělení.C.K. Taylor

Lognormální rozdělení

Lognormální rozdělení je ve financích důležité, protože lépe popisuje skutečné výnosy cen aktiv než standardní normální rozdělení.Toto PDF má pozitivní (pravou) šikmost a vyšší špičatost.

Lognormální rozdělení.

Obrázek Julie Bang © Investopedia2020

Poissonova distribuce

Poissonovo rozdělení je soubor PDF, který se používá k popisu proměnných počtu nebo pravděpodobnosti, že dojde k určitému počtu výskytů.Například, kolik jablek se nachází na jabloních, kolik včel žije v úlu v průběhu času nebo kolik obchodních dnů portfolio ztratí 5 % nebo více.

Obrázek Julie Bang © Investopedia2020

Beta distribuce

Beta distribuce je obecným typem PDF, které může nabývat různých tvarů a charakteristik, jak jsou definovány pouze dvěma parametry: alfa a beta.Často se používá ve financích k odhadu míry návratnosti dluhopisů nebo míry úmrtnosti v pojištění.

Verze beta distribuce.

Příklad funkce hustoty pravděpodobnosti

Jako jednoduchý příklad rozdělení pravděpodobnosti se podívejme na číslo pozorované při hodu dvěma standardními šestistěnnými kostkami.Každá kostka má 1/6 pravděpodobnost, že hodí libovolné jediné číslo, jedna až šest, ale součet dvou kostek bude tvořit rozdělení pravděpodobnosti znázorněné na obrázku níže.

Sedmička je nejčastější výsledek (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Dvojka a dvanáctka jsou naproti tomu daleko méně pravděpodobné (1+1 a 6+6).

Obrázek Sabriny Jiang © Investopedia2020

Co nám říká funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF)?

Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) popisuje, jak pravděpodobné je pozorovat nějaký výsledek vyplývající z procesu generování dat.Například, jaká je pravděpodobnost, že vyhozená férová mince vyleze nahoru (50 %). Nebo padne role kostky 6 (1/6 = 16,7 %). PDF nám může sdělit, které hodnoty se proto s největší pravděpodobností objeví v porovnání s méně pravděpodobnými výsledky.To se změní v závislosti na tvaru a vlastnostech PDF.

Co je centrální limitní teorém (CLT) a jak souvisí s PDF?

Centrální limitní teorém (CLT) říká, že distribuce náhodné veličiny ve vzorku se začne blížit normální distribuci, jak se velikost vzorku zvětší, bez ohledu na skutečný tvar distribuce.Víme tedy, že házení mincí je binární proces, popsaný binomickým rozdělením (hlavy nebo ocasy). Pokud však vezmeme v úvahu několik hodů mincí, šance na získání jakékoli konkrétní kombinace hlav a ocasů se začínají lišit.Pokud bychom například hodili mincí desetkrát, pravděpodobnost, že dostaneme 5 z každého, je nejpravděpodobnější, ale získat deset hlav v řadě je extrémně vzácné.Představte si 1000 hodů mincí a distribuce se blíží normální zvonové křivce.

Co je to PDF vs. CDF?

Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) vysvětluje, které hodnoty se pravděpodobně objeví v procesu generování dat v libovolném daném čase nebo pro dané losování.

Kumulativní distribuční funkce (CDF) místo toho zobrazuje, jak se tyto mezní pravděpodobnosti sčítají a nakonec dosahují 100 % (nebo 1,0) možných výsledků.Pomocí CDF můžeme vidět, jak je pravděpodobné, že výsledek proměnné bude menší nebo roven nějaké předpokládané hodnotě.

Obrázek níže například ukazuje CDF pro normální rozdělení.

CDF.

Obrázek Julie Bang © Investopedia2020

Sečteno a podtrženo

Funkce rozdělení pravděpodobnosti (PDF) popisují očekávané hodnoty náhodných proměnných vybraných ze vzorku.Tvar PDF vysvětluje, jak je pravděpodobné, že došlo k pozorované hodnotě.Normální rozdělení je běžně používaný příklad, který lze popsat pouze jeho střední hodnotou a směrodatnou odchylkou.Ostatní soubory PDF jsou složitější a jemnější.Výnosy cen akcií mají tendenci sledovat lognormální rozdělení spíše než normální, což naznačuje, že ztráty směrem dolů jsou častější než velmi velké zisky, v porovnání s tím, co by předpovídalo normální rozdělení.