Macaulay-varighed vs. ændret varighed: Hvad er forskellen?

Macaulay-varighed vs.Ændret varighed: En oversigt

Macaulay-varigheden og den modificerede varighed bruges hovedsageligt til at beregne varigheden af ​​obligationer.Macaulay-varigheden beregner den vægtede gennemsnitlige tid, før en obligationsejer ville modtage obligationens pengestrømme.Omvendt måler den modificerede varighed en obligations kursfølsomhed, når der er en ændring i afkastet til udløb.

Nøgle takeaways

  • Der er et par forskellige måder at nærme sig begrebet varighed eller et renteaktivers prisfølsomhed over for ændringer i rentesatser.
  • Macaulay-varigheden er den vægtede gennemsnitlige løbetid for pengestrømmene fra en obligation og bruges ofte af porteføljeforvaltere, der bruger en immuniseringsstrategi.
  • Den modificerede varighed af en obligation er en justeret version af Macaulay-varigheden og bruges til at beregne ændringerne i en obligations varighed og pris for hver procentvise ændring i afkastet til udløb.

Macaulay-varigheden

Macaulay-varigheden beregnes ved at gange tidsperioden med den periodiske kuponbetaling og dividere den resulterende værdi med 1 plus det periodiske afkast, der er hævet til tidspunktet til udløb.Dernæst beregnes værdien for hver periode og lægges sammen.Derefter lægges den resulterende værdi til det samlede antal perioder ganget med pariværdien, divideret med 1, plus det periodiske udbytte hævet til det samlede antal perioder.Derefter divideres værdien med den aktuelle obligationskurs.

Macaulay Varighed = ( t = 1 n t C ( 1 + y ) t + n M ( 1 + y ) n ) Nuværende obligationspris hvor: C = periodisk kuponbetaling y = periodisk udbytte M = obligationens modenhedsværdi n = varighed af bindingsperioder start{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{venstre( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ venstre(1+yright)^n } højre)}{tekst{Nuværende obligationskurs}} &textbf{hvor:} &C=tekst{periodisk kuponbetaling} &y=tekst{periodisk afkast} &M=tekst{obligationens løbetidsværdi} &n=tekst{varighed af obligationen i perioder} end{aligned} ,Macaulay Varighed=Nuværende obligationspris(t=1n,(1+år)tt∗C,+(1+år)nn∗M,),hvor:C=periodisk kuponbetalingy=periodisk udbytteM=obligationens modenhedsværdin=varighed af bindingsperioder,

En obligations pris beregnes ved at gange pengestrømmen med 1, minus 1, divideret med 1, plus afkastet til udløb, hævet til antallet af perioder divideret med det krævede afkast.Den resulterende værdi lægges til obligationens pålydende værdi, eller løbetidsværdi, divideret med 1, plus afkastet til udløb hævet til det samlede antal perioder.

Overvej for eksempel en treårig obligation med en løbetidsværdi på 1.000 $ og en kuponrente på 6%, der betales halvårligt.Obligationen betaler kuponen to gange om året og betaler hovedstolen ved den endelige betaling.På denne baggrund forventes følgende pengestrømme over de næste tre år:

Periode 1 : $ 30 Periode 2 : $ 30 Periode 3 : $ 30 Periode 4 : $ 30 Periode 5 : $ 30 Periode 6 : $ 1 , 030 start{aligned} &tekst{Periode 1}: $30 &tekst{Periode 2}: $30 &tekst{Periode 3}: $30 &tekst{Periode 4}: $30 &tekst{Periode 5}: $30 &tekst{Periode 6}: 1.030 $ end{aligned} ,Periode 1:$30Periode 2:$30Periode 3:$30Periode 4:$30Periode 5:$30Periode 6: $1.030,

Med de kendte perioder og pengestrømme skal der beregnes en diskonteringsfaktor for hver periode.Dette beregnes som 1 ÷ (1 + r)n, hvor r er renten og n er det pågældende periodenummer.Renten, r, sammensat halvårligt er 6 % ÷ 2 = 3 %.Derfor vil rabatfaktorerne være:

Periode1 Rabatfaktor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0,9709 Periode2 DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0,9426 Periode3 DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Periode5 DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Periode6 DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 start{aligned} &tekst{Periode 1 Rabatfaktor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 1 = 0,9709 &text{Periode 2 Rabatfaktor}: 1 div (1 + ,03 ) ^ 2 = 0,9426 &tekst{Periode 3 Rabatfaktor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Periode 4 Rabatfaktor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Periode 5 Rabatfaktor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 5 = 0,8626 &text{Periode 6 Rabatfaktor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 6 = 0,8375 end{aligned} ,Periode1 Rabatfaktor:1÷(1+.03)1= 0,9709Periode2 DiscountFactor:1÷(1+.03)2= 0,9426Periode3 DiscountFactor:1÷(1+.03)3= 0,9151Period4DiscountFactor:1÷(1+.03)4= 0,8885Periode5 DiscountFactor:1÷(1+.03)5= 0,8626Periode6 DiscountFactor:1÷(1+.03)6= 0,8375,

Derefter ganges periodens pengestrøm med periodetallet og med dens tilsvarende diskonteringsfaktor for at finde nutidsværdien af ​​pengestrømmen:

Periode 1 : 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29.13 Periode 2 : 2 × $ 30 × 0,9426 = $ 56,56 Periode 3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82,36 Periode 4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106,62 Periode 5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129,39 Periode 6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175,65 Periode = 1 6 = $ 5 , 579,71 = tæller start{aligned} &tekst{Periode 1}: 1 gange $30 gange 0,9709 = $29,13 &tekst{Periode 2}: 2 gange $30 gange 0,9426 = $56,56 &tekst{Periode 3}: 3 gange $30 gange 0,9136 $tekst & 0,9151 $ }: 4 gange $30 gange 0,8885 = $106,62 &tekst{Periode 5}: 5 gange $30 gange 0,8626 = $129,39 &tekst{Periode 6}: 6 gange $1.030 gange 0,8375 = $5,175 = $5,175 {1}_6 {tekst 6}. } = $5.579,71 = tekst{tæller} end{aligned} ,Periode 1:1×$30×0,9709=$29,13Periode 2:2×$30×0,9426=$56,56Periode 3:3×$30×0,9151=$82,36Periode 4:4×$30×0,8885=$106,62Periode 5:5×$30×0,8626=$129,39Periode 6:6×$1.030×0,8375=$5.175,65Periode=16,=5.579,71 USD=tæller,

Nuværende obligationspris = PVCashFlows = 1 6 Nuværende obligationspris = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 Nuværende obligationspris = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 Nuværende obligationspris = $ 1 , 000 Nuværende obligationspris = nævner start{aligned} &text{Nuværende obligationskurs} = sum_{tekst{ PV Cash Flows } = 1} ^ {6} &phantom{ text{Nuværende obligationskurs} } = 30 div ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 div ( 1 + .03 ) ^ 2 &phantom{ text{Current Bond Price} = } + cdots + 1030 div ( 1 + .03 ) ^ 6 &phantom{ text{Current Bond Price} } = $1.000 &phantom{ text{Nuværende Obligationskurs} } = tekst{nævner} end{aligned} ,Nuværende obligationspris=PVCashFlows=16,Nuværende obligationspris=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2Nuværende obligationspris=+⋯+1030÷(1+.03)6Nuværende obligationspris= 1.000 USDNuværende obligationspris=nævner,

(Bemærk, at da kuponrenten og renten er den samme, vil obligationen handle til pari.)

Macaulay Varighed = $ 5 , 579,71 ÷ $ 1 , 000 = 5,58 start{aligned} &text{Macaulay Duration} = $5.579,71 div $1.000 = 5,58 end{aligned} ,Macaulay Varighed=5.579,71$÷1.000$=5,58,

Bemærk, at denne varighedsberegning er for 5,58 halvår, da obligationen udbetales halvårligt.Den årlige varighed er således 5,58/2 =2,79 år, hvilket er mindre end de tre år, hvor obligationen udløber.

Den ændrede varighed

Ændret Varighed = Macauley Varighed ( 1 + Y T M n ) hvor: Y T M = udbyttemodenhed n = antal kuponperioder pr. år start{aligned} &tekst{Modificeret varighed}=frac{tekst{Macauley-varighed}}{venstre(1 + frac{YTM}{n}højre)} &textbf{hvor:} &YTM=tekst{udbytte til modenhed} &n =tekst{antal kuponperioder pr. år} slut{aligned} ,Ændret Varighed=(1+nYTM,)Macauley Varighed,hvor:YTM=udbyttemodenhedn=antal kuponperioder pr. år,

Den modificerede varighed er en justeret version af Macaulay-varigheden, som tager højde for ændring af afkast til løbetider.Formlen for den modificerede varighed er værdien af ​​Macaulay-varigheden divideret med 1 plus afkastet til udløb divideret med antallet af kuponperioder pr. år.Den modificerede varighed bestemmer ændringerne i en obligations varighed og pris for hver procentvise ændring i afkastet til udløb.

Lad os for eksempel se på vores obligation fra eksemplet ovenfor, som blev beregnet til at have en Macaulay-varighed på 5,58 år.Den ændrede varighed for denne obligation vil være:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71 %

Formlen til at beregne den procentvise ændring i prisen på obligationen er ændringen i afkastet ganget med den negative værdi af den modificerede varighed ganget med 100 %.Denne resulterende procentvise ændring i obligationen, for en rentestigning fra 8 % til 9 %, er beregnet til -2,71 %.Derfor, hvis renten stiger 1 % i nat, forventes kursen på obligationen at falde 2,71 %.

Den ændrede varighed og renteswaps

Ændret varighed kunne forlænges for at beregne det antal år, det ville tage en renteswap at tilbagebetale prisen betalt for swappen.En renteswap er udveksling af et sæt pengestrømme til et andet og er baseret på rentespecifikationer mellem parterne.

Den modificerede varighed beregnes ved at dividere dollarværdien af ​​en ændring på et basispoint af et renteswapben eller en serie af pengestrømme med nutidsværdien af ​​serien af ​​pengestrømme.Værdien ganges derefter med 10.000.Den modificerede varighed for hver serie af pengestrømme kan også beregnes ved at dividere dollarværdien af ​​en basispunktsændring af serien af ​​pengestrømme med den nominelle værdi plus markedsværdien.Brøken ganges derefter med 10.000.

Den ændrede varighed af begge ben skal beregnes for at beregne den ændrede varighed af renteswappen.Forskellen mellem de to ændrede varigheder er den ændrede varighed af renteswappen.Formlen for den modificerede varighed af renteswappen er den modificerede varighed af det modtagende ben minus den modificerede varighed af det betalende ben.

Antag for eksempel, at bank A og bank B indgår en renteswap.Den ændrede varighed af den modtagende del af en swap beregnes som ni år, og den ændrede varighed af den betalende del beregnes som fem år.Den resulterende modificerede varighed af renteswappen er fire år (9 år –5 år).

Nøgleforskelle

Da Macaulay-varigheden måler den vægtede gennemsnitlige tid, en investor skal holde en obligation, indtil nutidsværdien af ​​obligationens pengestrømme er lig med det beløb, der betales for obligationen, bruges den ofte af obligationsforvaltere, der ønsker at styre obligationsporteføljerisikoen med immuniseringsstrategier.

I modsætning hertil identificerer den modificerede varighed, hvor meget varigheden ændres for hver procentvis ændring i afkastet, mens den måler, hvor meget en ændring i rentesatserne påvirker prisen på en obligation.Den modificerede varighed kan således give et risikomål for obligationsinvestorer ved at anslå, hvor meget prisen på en obligation kan falde med en stigning i renten.Det er vigtigt at bemærke, at obligationskurser og renter har et omvendt forhold til hinanden.

Hvad er forskellen mellem Macaulay og ændret varighed?

Macaulay-varighed er den vægtede gennemsnitlige løbetid for pengestrømmene fra en obligation.

Modificeret varighed er en obligations prisfølsomhed over for ændringer i rentesatser, som tager Macaulay-varigheden og justerer den for obligationens udløbsrente (YTM).

Er den ændrede varighed altid mindre end Macaulay-varigheden?

Fordi modificeret varighed dividerer den modificerede varighed med én plus det modificerede afkast til udløb, vil det altid være mindre end Macaulay-varigheden - undtagen i det sjældne tilfælde, hvis den modificerede YTM er lig nul, i hvilket tilfælde de begge vil være ens, da nævneren vil være 1 + 0% = 1.

Hvad er dollarvarighed?

Dollarvarighed måler dollarændringen i en obligations værdi til en ændring i markedsrenten, hvilket giver en ligetil dollarbeløbsberegning givet en ændring på 1 % i kurserne.