Macaulay-Duration vs. modifizierte Duration: Was ist der Unterschied?

Macaulay-Duration vs.Modifizierte Dauer: Ein Überblick

Die Macaulay-Duration und die modifizierte Duration werden hauptsächlich zur Berechnung der Duration von Anleihen verwendet.Die Macaulay-Duration berechnet die gewichtete durchschnittliche Zeit, bevor ein Anleihegläubiger die Cashflows der Anleihe erhalten würde.Umgekehrt misst die modifizierte Duration die Preissensitivität einer Anleihe bei einer Veränderung der Rendite auf Verfall.

Die zentralen Thesen

  • Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich dem Konzept der Duration oder der Preissensitivität eines festverzinslichen Vermögenswerts gegenüber Änderungen der Zinssätze zu nähern.
  • Die Macaulay-Duration ist die gewichtete durchschnittliche Laufzeit der Cashflows einer Anleihe und wird häufig von Portfoliomanagern verwendet, die eine Immunisierungsstrategie anwenden.
  • Die modifizierte Duration einer Anleihe ist eine angepasste Version der Macaulay-Duration und wird verwendet, um die Änderungen der Duration und des Preises einer Anleihe für jede prozentuale Änderung der Rendite bis zur Fälligkeit zu berechnen.

Die Macaulay-Dauer

Die Macaulay-Duration errechnet sich, indem der Zeitraum mit der periodischen Couponzahlung multipliziert und der resultierende Wert durch 1 geteilt wird, zuzüglich der periodischen Rendite erhöht auf die Laufzeit.Als nächstes wird der Wert für jede Periode berechnet und zusammengezählt.Dann wird der resultierende Wert zu der Gesamtzahl der Perioden, multipliziert mit dem Nennwert, dividiert durch 1, plus dem auf die Gesamtzahl der Perioden angehobenen periodischen Ertrag addiert.Dann wird der Wert durch den aktuellen Anleihekurs dividiert.

MacaulayDauer = ( t = 1 n t C ( 1 + j ) t + n M ( 1 + j ) n ) Aktueller Anleihepreis wo: C = periodische Couponzahlung j = periodischer Ertrag M = den Fälligkeitswert der Anleihe n = BindungsdauerinPerioden begin{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{Aktueller Anleihekurs}} &textbf{wobei:} &C=text{periodische Couponzahlung} &y=text{periodische Rendite} &M=text{der Anleihe Fälligkeitswert} &n=text{Dauer der Anleihe in Perioden} end{aligned} MacaulayDauer=Aktueller Anleihepreis(t=1n(1+j)tt∗C+(1+j)nn∗M)wo:C=periodische Couponzahlungy=periodischer ErtragM=den Fälligkeitswert der Anleihen=BindungsdauerinPerioden

Der Preis einer Anleihe wird berechnet, indem der Cashflow mit 1 multipliziert wird, minus 1, geteilt durch 1, plus die Rendite bis zur Fälligkeit, erhöht auf die Anzahl der Perioden, dividiert durch die erforderliche Rendite.Der resultierende Wert wird zum Nennwert oder Laufzeitwert der Anleihe dividiert durch 1 addiert, zuzüglich der auf die Gesamtzahl der Perioden angehobenen Rendite bis zur Fälligkeit.

Stellen Sie sich zum Beispiel eine dreijährige Anleihe mit einem Fälligkeitswert von 1.000 US-Dollar und einem Kupon von 6 % vor, die halbjährlich gezahlt wird.Die Anleihe zahlt zweimal im Jahr den Kupon und zahlt den Kapitalbetrag auf die Schlusszahlung.Vor diesem Hintergrund werden in den nächsten drei Jahren folgende Cashflows erwartet:

Zeitraum 1 : $ 30 Zeitraum2 : $ 30 Zeitraum3 : $ 30 Zeitraum4 : $ 30 Zeitraum5 : $ 30 Zeitraum6 : $ 1 , 030 begin{aligned} &text{Periode 1}: $30 &text{Periode 2}: $30 &text{Periode 3}: $30 &text{Periode 4}: $30 &text{Periode 5}: $30 &text{Periode 6}: $1.030 end{aligned} Zeitraum 1:$30Zeitraum2:$30Zeitraum3:$30Zeitraum4:$30Zeitraum5:$30Zeitraum6: $1.030

Bei bekannten Perioden und Zahlungsströmen muss für jede Periode ein Abzinsungsfaktor berechnet werden.Dies wird berechnet als 1 ÷ (1 + r)n, wobei r der Zinssatz und n die betreffende Periodennummer ist.Der halbjährlich berechnete Zinssatz r beträgt 6 % ÷ 2 = 3 %.Die Abzinsungsfaktoren wären daher:

Periode1Rabattfaktor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0,9709 Zeitraum2Rabattfaktor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0,9426 Period3DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Zeitraum5Rabattfaktor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Zeitraum6Rabattfaktor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 begin{aligned} &text{Abzinsungsfaktor für Zeitraum 1}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0,9709 &text{Abzinsungsfaktor für Zeitraum 2}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0,9426 &text{Abzinsungsfaktor 3 Rabattfaktor}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Rabattfaktor für Periode 4}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Rabattfaktor für Periode 5}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0.8626 &text{Abzinsungsfaktor Periode 6}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0.8375 end{aligned} Periode1Rabattfaktor:1÷(1+.03)1=0,9709Zeitraum2Rabattfaktor:1÷(1+.03)2=0,9426Period3DiscountFactor:1÷(1+.03)3=0,9151Period4DiscountFactor:1÷(1+.03)4=0,8885Zeitraum5Rabattfaktor:1÷(1+.03)5=0,8626Zeitraum6Rabattfaktor:1÷(1+.03)6=0,8375

Multiplizieren Sie als Nächstes den Cashflow der Periode mit der Periodennummer und dem entsprechenden Abzinsungsfaktor, um den Barwert des Cashflows zu ermitteln:

Zeitraum 1 : 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29.13 Zeitraum2 : 2 × $ 30 × 0,9426 = $ 56.56 Zeitraum3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82.36 Zeitraum4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106.62 Zeitraum5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129.39 Zeitraum6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175,65 Zeitraum = 1 6 = $ 5 , 579.71 = Zähler begin{aligned} &text{Periode 1}: 1 mal 30 $ mal 0,9709 = 29,13 $ &text{Periode 2}: 2 mal 30 $ mal 0,9426 = 56,56 $ &text{Periode 3}: 3 mal 30 $ mal 0,9151 = 82,36 $ &text{Periode 4 }: 4 mal 30 $ mal 0,8885 = 106,62 $ &text{Periode 5}: 5 mal 30 $ mal 0,8626 = 129,39 $ &text{Periode 6}: 6 mal 1.030 $ mal 0,8375 = 5.175,65 $ &sum_{text{ Periode } = 1} ^ {6 } = $5.579,71 = text{Zähler} end{ausgerichtet} Zeitraum 1: 1 × 30 USD × 0,9709 = 29,13 USDZeitraum2: 2 × 30 USD × 0,9426 = 56,56 USDZeitraum3: 3 × 30 USD × 0,9151 = 82,36 USDZeitraum4: 4 × 30 USD × 0,8885 = 106,62 USDZeitraum5: 5 × 30 USD × 0,8626 = 129,39 USDZeitraum6: 6 × 1.030 USD × 0,8375 = 5.175,65 USDZeitraum=16=$5.579,71=Zähler

Aktueller Anleihepreis = PVCashFlows = 1 6 Aktueller Anleihepreis = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 Aktueller Anleihepreis = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 Aktueller Anleihepreis = $ 1 , 000 Aktueller Anleihepreis = Nenner begin{aligned} &text{Aktueller Anleihekurs} = sum_{text{ PV Cashflows } = 1} ^ {6} &phantom{ text{Aktueller Anleihekurs} } = 30 div ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 div ( 1 + 0,03 ) ^ 2 &phantom{ text{Aktueller Anleihekurs} = } + cdots + 1030 div ( 1 + 0,03 ) ^ 6 &phantom{ text{Aktueller Anleihekurs} } = 1.000 $ &phantom{ text{Aktueller Kurs Bondpreis} } = text{nenner} end{aligned} Aktueller Anleihepreis=PVCashFlows=16Aktueller Anleihepreis=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2Aktueller Anleihepreis=+⋯+1030÷(1+.03)6Aktueller Anleihepreis= 1.000 $Aktueller Anleihepreis=Nenner

(Beachten Sie, dass die Anleihe zum Nennwert gehandelt wird, da der Kuponsatz und der Zinssatz gleich sind.)

MacaulayDauer = $ 5 , 579.71 ÷ $ 1 , 000 = 5.58 begin{aligned} &text{Macaulay-Dauer} = $5.579,71 div $1.000 = 5,58 end{aligned} MacaulayDauer= 5.579,71 $ ÷ 1.000 $ = 5,58

Beachten Sie, dass diese Durationsberechnung für 5,58 Halbjahre gilt, da die Anleihe halbjährlich ausgezahlt wird.Die jährliche Duration beträgt somit 5,58/2 = 2,79 Jahre, was weniger ist als die drei Jahre, in denen die Anleihe fällig wird.

Die modifizierte Dauer

Geänderte Dauer = MacauleyDauer ( 1 + Y T M n ) wo: Y T M = Ertrag bis zur Reife n = Anzahl der Couponperioden pro Jahr begin{aligned} &text{Modified Duration}=frac{text{Macauley Duration}}{left( 1 + frac{YTM}{n}right)} &textbf{where:} &YTM=text{rendite bis zur Fälligkeit} &n =text{Anzahl der Couponperioden pro Jahr} end{aligned} Geänderte Dauer=(1+nYTM)MacauleyDauerwo:YTM=Ertrag bis zur Reifen=Anzahl der Couponperioden pro Jahr

Die modifizierte Duration ist eine angepasste Version der Macaulay-Duration, die die sich ändernde Rendite auf Fälligkeiten berücksichtigt.Die Formel für die modifizierte Duration ist der Wert der Macaulay-Duration dividiert durch 1, plus die Rendite bis zur Fälligkeit dividiert durch die Anzahl der Couponperioden pro Jahr.Die modifizierte Duration bestimmt die Änderungen der Duration und des Preises einer Anleihe für jede prozentuale Änderung der Rendite bis zur Fälligkeit.

Schauen wir uns zum Beispiel unsere Anleihe aus dem obigen Beispiel an, die mit einer Macaulay-Duration von 5,58 Jahren berechnet wurde.Die modifizierte Duration für diese Anleihe wäre:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71 %

Die Formel zur Berechnung der prozentualen Kursänderung der Anleihe ist die Renditeänderung multipliziert mit dem negativen Wert der modifizierten Duration multipliziert mit 100 %.Diese resultierende prozentuale Veränderung der Anleihe wird bei einer Zinserhöhung von 8 % auf 9 % mit -2,71 % berechnet.Wenn die Zinsen über Nacht um 1 % steigen, wird der Kurs der Anleihe daher voraussichtlich um 2,71 % fallen.

Die modifizierte Duration und Zinsswaps

Die modifizierte Duration könnte verlängert werden, um die Anzahl der Jahre zu berechnen, die ein Zinsswap benötigen würde, um den für den Swap gezahlten Preis zurückzuzahlen.Ein Zinsswap ist der Austausch einer Gruppe von Zahlungsströmen gegen eine andere und basiert auf Zinssatzspezifikationen zwischen den Parteien.

Die modifizierte Duration wird berechnet, indem der Dollarwert einer Änderung um einen Basispunkt einer Zinsswap-Seite oder einer Reihe von Cashflows durch den Barwert der Reihe von Cashflows dividiert wird.Der Wert wird dann mit 10.000 multipliziert.Die modifizierte Duration für jede Reihe von Cashflows kann auch berechnet werden, indem der Dollarwert einer Basispunktänderung der Reihe von Cashflows durch den Nominalwert plus den Marktwert dividiert wird.Der Bruch wird dann mit 10.000 multipliziert.

Die modifizierte Duration beider Legs muss berechnet werden, um die modifizierte Duration des Zinsswaps zu berechnen.Die Differenz zwischen den beiden modifizierten Durationen ist die modifizierte Duration des Zinsswaps.Die Formel für die modifizierte Duration des Zinsswaps ist die modifizierte Duration der empfangenden Seite minus der modifizierten Duration der zahlenden Seite.

Angenommen, Bank A und Bank B gehen einen Zinsswap ein.Die modifizierte Duration der empfangenden Seite eines Swaps wird mit neun Jahren und die modifizierte Duration der zahlenden Seite mit fünf Jahren berechnet.Die daraus resultierende modifizierte Duration des Zinsswaps beträgt vier Jahre (9 Jahre – 5 Jahre).

Hauptunterschiede

Da die Macaulay-Duration die gewichtete durchschnittliche Zeit misst, die ein Anleger eine Anleihe halten muss, bis der Barwert der Cashflows der Anleihe dem für die Anleihe gezahlten Betrag entspricht, wird sie häufig von Anleihenmanagern verwendet, die das Risiko von Anleihenportfolios mit Immunisierungsstrategien steuern möchten.

Im Gegensatz dazu gibt die modifizierte Duration an, wie stark sich die Duration für jede prozentuale Änderung der Rendite ändert, und misst gleichzeitig, wie stark sich eine Änderung der Zinssätze auf den Preis einer Anleihe auswirkt.Somit kann die modifizierte Duration Anlegern von Anleihen ein Risikomaß liefern, indem sie ungefähr angibt, wie stark der Kurs einer Anleihe bei einem Anstieg der Zinssätze fallen könnte.Es ist wichtig zu beachten, dass Anleihekurse und Zinssätze in umgekehrter Beziehung zueinander stehen.

Was ist der Unterschied zwischen Macaulay und modifizierter Duration?

Die Macaulay-Duration ist die gewichtete durchschnittliche Restlaufzeit der Cashflows aus einer Anleihe.

Die modifizierte Duration ist die Preissensitivität einer Anleihe gegenüber Zinsänderungen, die die Macaulay-Duration nimmt und sie an die Rendite bis zur Fälligkeit (YTM) der Anleihe anpasst.

Ist die modifizierte Duration immer kleiner als die Macaulay-Duration?

Da die modifizierte Duration die modifizierte Duration durch eins plus die modifizierte Rendite bis zur Fälligkeit dividiert, ist sie immer kleiner als die Macaulay-Duration – außer in dem seltenen Fall, dass die modifizierte YTM gleich Null ist, in diesem Fall sind beide seitdem gleich der Nenner ist 1 + 0% = 1.

Was ist die Dollar-Duration?

Die Dollar-Duration misst die Dollar-Änderung des Werts einer Anleihe bei einer Änderung des Marktzinssatzes und bietet eine einfache Berechnung des Dollarbetrags bei einer Zinsänderung von 1 %.