Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)?

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) ist ein statistischer Ausdruck, der eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses) für eine diskrete Zufallsvariable (z. B. eine Aktie oder einen ETF) im Gegensatz zu einer kontinuierlichen Zufallsvariablen definiert.Der Unterschied zwischen einer diskreten Zufallsvariablen besteht darin, dass Sie einen genauen Wert der Variablen identifizieren können.

Die Normalverteilung ist ein gängiges Beispiel für eine PDF, die die bekannte Glockenkurvenform bildet.

Im Finanzwesen verwenden Händler und Investoren PDFs, um zu verstehen, wie Kursrenditen verteilt sind, um ihr Risiko- und erwartetes Renditeprofil zu bewerten.

Die zentralen Thesen

  • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen sind ein statistisches Maß, das verwendet wird, um das wahrscheinliche Ergebnis eines diskreten Werts (z. B. des Kurses einer Aktie oder eines ETF) zu messen.
  • PDFs werden in einem Diagramm dargestellt, das typischerweise einer Glockenkurve ähnelt, wobei die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse unterhalb der Kurve liegt.
  • Eine diskrete Variable kann exakt gemessen werden, während eine kontinuierliche Variable unendliche Werte haben kann.
  • PDFs können verwendet werden, um das potenzielle Risiko/Ertragspotenzial eines bestimmten Wertpapiers oder Fonds in einem Portfolio abzuschätzen.
  • Oft wird die Normalverteilung zitiert, die eine glockenförmige Kurve bildet.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen verstehen (PDFs)

PDFs werden im Finanzwesen verwendet, um das Risiko eines bestimmten Wertpapiers, wie z. B. einer einzelnen Aktie oder eines ETF, einzuschätzen.

Sie werden normalerweise in einem Diagramm dargestellt, wobei eine normale Glockenkurve ein neutrales Marktrisiko anzeigt und eine Glocke an beiden Enden ein höheres oder geringeres Risiko/Rendite anzeigt.Wenn das PDF grafisch dargestellt wird, zeigt der Bereich unter der Kurve das Intervall an, in das die Variable fallen wird.Die Gesamtfläche in diesem Intervall des Graphen entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine diskrete Zufallsvariable auftritt.

Genauer gesagt, da die absolute Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, aufgrund der unendlichen Menge möglicher verfügbarer Werte Null ist, kann der Wert einer PDF verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine Zufallsvariable in einen bestimmten Bereich fällt von Werten.

Bild von Julie Bang © Investopedia2020

Eine zur rechten Seite der Kurve schiefe Verteilung deutet auf eine größere Aufwärtsprämie hin, während eine nach links schiefe Verteilung auf ein größeres Abwärtsrisiko für Trader hindeutet.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch verwendet werden, um kumulative Verteilungsfunktionen (CDFs) zu erstellen, die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens kumulativ aufsummieren und immer bei Null beginnen und bei 100 % enden.

Anleger sollten PDFs als eines von vielen Instrumenten verwenden, um das Gesamtrisiko/Ertragsverhältnis ihrer Portfolios zu berechnen.

Diskret vs.Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen

PDFs können entweder diskrete oder kontinuierliche Daten beschreiben.Der Unterschied besteht darin, dass diskrete Variablen nur bestimmte Werte annehmen können, z. B. ganze Zahlen, ja vs. nein, Tageszeiten usw.Eine kontinuierliche Variable enthält dagegen alle Werte entlang der Kurve, einschließlich sehr kleiner Brüche oder Dezimalstellen bis hin zu theoretisch unendlich vielen Stellen.

Diskret vs.Fortlaufendes PDF.

Bild von Julie Bang © Investopedia2020

Berechnung einer Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion

PDFs werden oft durch Mittelwert, Standardabweichung, Kurtosis und Schiefe charakterisiert.

  • Mittelwert: der arithmetische Mittelwert
  • Standardabweichung: die Streuung der Daten um den Mittelwert
  • Kurtosis: beschreibt die "Dicke" der Schwänze des PDF
  • Schiefe: bezieht sich auf Abweichungen in der Symmetrie des PDFs

Das Berechnen der PDF-Datei und deren grafische Darstellung können komplexe Berechnungen beinhalten, die Differentialgleichungen oder Integralrechnungen verwenden.In der Praxis werden Grafikrechner oder statistische Softwarepakete benötigt, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion zu berechnen.

Die Normalverteilung

Als Beispiel sieht die Berechnung für die PDF der Normalverteilung wie folgt aus:

Normalverteilungsformel.

wo:

  • x = Wert der untersuchten Variablen oder Daten und f(x) die Wahrscheinlichkeitsfunktion
  • μ = der Mittelwert
  • σ = die Standardabweichung

Eine Normalverteilung hat immer eine Schiefe = 0 und Kurtosis = 3,0.

Andere Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen

Während die Normalverteilung oft die am häufigsten zitierte und bekannteste ist, existieren mehrere andere PDFs.

Gleichmäßige Verteilung

Die einfachste und beliebteste Verteilung ist die gleichmäßige Verteilung, bei der alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, einzutreten.Ein sechsseitiger Würfel hat eine gleichmäßige Verteilung.Jedes Ergebnis hat eine Wahrscheinlichkeit von etwa 16,67 % (1/6).

Bild von Julie Bang © Investopedia2020

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung stellt Daten dar, die nur einen von zwei Werten annehmen können, wie z. B. das Werfen einer Münze (Kopf vs. Zahl) oder logische Ausdrücke, die die Form von Ja/Nein, Ein/Aus usw. annehmen.

Ein Histogramm einer Binomialverteilung.C. K. Taylor

Lognormalverteilung

Die lognormale Verteilung ist im Finanzwesen wichtig, da sie die tatsächlichen Kursrenditen besser beschreibt als die Standardnormalverteilung.Dieses PDF hat eine positive (rechte) Schiefe und eine höhere Kurtosis.

Lognormalverteilung.

Bild von Julie Bang © Investopedia2020

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist ein PDF, das verwendet wird, um Zählvariablen oder die Wahrscheinlichkeiten zu beschreiben, dass eine bestimmte Anzahl von Vorkommen eintritt.Zum Beispiel, wie viele Äpfel auf Apfelbäumen zu finden sind, wie viele Bienen im Laufe der Zeit in einem Bienenstock leben oder an wie vielen Handelstagen ein Portfolio 5 % oder mehr verliert.

Bild von Julie Bang © Investopedia2020

Beta-Verteilung

Die Beta-Distribution ist ein allgemeiner PDF-Typ, der eine Vielzahl von Formen und Eigenschaften annehmen kann, die durch nur zwei Parameter definiert werden: Alpha und Beta.Es wird häufig im Finanzwesen verwendet, um die Wiederherstellungsquoten bei Anleiheausfällen oder die Sterblichkeitsraten bei Versicherungen zu schätzen.

Variationen der Beta-Verteilung.

Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Als einfaches Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung wollen wir uns die Zahl ansehen, die beim Rollen von zwei standardmäßigen sechsseitigen Würfeln beobachtet wird.Jeder Würfel hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, eine einzelne Zahl von eins bis sechs zu würfeln, aber die Summe von zwei Würfeln bildet die im Bild unten dargestellte Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Sieben ist das häufigste Ergebnis (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Zwei und zwölf sind dagegen weit weniger wahrscheinlich (1+1 und 6+6).

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Was sagt uns eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)?

Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, ein Ergebnis zu beobachten, das sich aus einem Datengenerierungsprozess ergibt.Wie wahrscheinlich ist es zum Beispiel, dass eine fair geworfene Münze Kopf zeigt (50 %). Oder die Rolle eines Würfels, der eine 6 ergibt (1/6 = 16,7 %). Ein PDF kann uns sagen, welche Werte daher am wahrscheinlichsten erscheinen im Vergleich zu den weniger wahrscheinlichen Ergebnissen.Dies ändert sich je nach Form und Eigenschaften der PDF-Datei.

Was ist das Central Limit Theorem (CLT) und in welcher Beziehung steht es zu PDFs?

Das Central Limit Theorem (CLT) besagt, dass sich die Verteilung einer Zufallsvariablen in einer Stichprobe einer Normalverteilung annähert, wenn die Stichprobengröße größer wird, unabhängig von der wahren Form der Verteilung.Wir wissen also, dass das Werfen einer Münze ein binärer Prozess ist, der durch die Binomialverteilung (Kopf oder Zahl) beschrieben wird. Wenn wir jedoch mehrere Münzwürfe in Betracht ziehen, beginnen die Chancen, eine bestimmte Kombination von Kopf und Zahl zu erhalten, unterschiedlich zu sein.Wenn wir zum Beispiel die Münze zehnmal werfen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir jeweils 5 Mal bekommen, sehr wahrscheinlich, aber zehnmal Kopf hintereinander zu bekommen, ist äußerst selten.Stellen Sie sich 1.000 Münzwürfe vor und die Verteilung nähert sich der normalen Glockenkurve.

Was ist ein PDF im Vergleich zu einer CDF?

Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) erklärt, welche Werte wahrscheinlich zu einem bestimmten Zeitpunkt oder für eine bestimmte Ziehung in einem Datenerzeugungsprozess erscheinen.

Eine kumulative Verteilungsfunktion (CDF) zeigt stattdessen, wie sich diese Randwahrscheinlichkeiten summieren und letztendlich 100 % (oder 1,0) der möglichen Ergebnisse erreichen.Mit einem CDF können wir sehen, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ergebnis einer Variablen kleiner oder gleich einem vorhergesagten Wert ist.

Die folgende Abbildung zeigt beispielsweise die CDF für eine Normalverteilung.

CDF.

Bild von Julie Bang © Investopedia2020

Das Endergebnis

Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen (PDFs) beschreiben die erwarteten Werte von Zufallsvariablen, die aus einer Stichprobe gezogen werden.Die Form des PDF erklärt, wie wahrscheinlich es ist, dass ein beobachteter Wert aufgetreten ist.Die Normalverteilung ist ein häufig verwendetes Beispiel, das nur durch seinen Mittelwert und seine Standardabweichung beschrieben werden kann.Andere PDFs sind komplexer und nuancierter.Aktienkursrenditen folgen eher einer lognormalen als einer normalen Verteilung, was darauf hindeutet, dass Abwärtsverluste häufiger sind als sehr große Gewinne, relativ zu dem, was die Normalverteilung vorhersagen würde.