Διάρκεια Macaulay έναντι τροποποιημένης διάρκειας: Ποια είναι η διαφορά;

Διάρκεια Macaulay vs.Τροποποιημένη Διάρκεια: Επισκόπηση

Η διάρκεια Macaulay και η τροποποιημένη διάρκεια χρησιμοποιούνται κυρίως για τον υπολογισμό της διάρκειας των ομολόγων.Η διάρκεια του Macaulay υπολογίζει τον σταθμισμένο μέσο χρόνο πριν ο κάτοχος του ομολόγου λάβει τις ταμειακές ροές του ομολόγου.Αντίθετα, η τροποποιημένη διάρκεια μετρά την ευαισθησία τιμής ενός ομολόγου όταν υπάρχει αλλαγή στην απόδοση έως τη λήξη.

Βασικά Takeaways

  • Υπάρχουν μερικοί διαφορετικοί τρόποι προσέγγισης της έννοιας της διάρκειας ή της ευαισθησίας τιμής ενός περιουσιακού στοιχείου σταθερού εισοδήματος στις αλλαγές των επιτοκίων.
  • Η διάρκεια Macaulay είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος μέχρι τη λήξη των ταμειακών ροών από ένα ομόλογο και χρησιμοποιείται συχνά από διαχειριστές χαρτοφυλακίου που χρησιμοποιούν μια στρατηγική ανοσοποίησης.
  • Η τροποποιημένη διάρκεια ενός ομολόγου είναι μια προσαρμοσμένη εκδοχή της διάρκειας Macaulay και χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των αλλαγών στη διάρκεια και την τιμή ενός ομολόγου για κάθε ποσοστιαία μεταβολή στην απόδοση έως τη λήξη.

The Macaulay Duration

Η διάρκεια του Macaulay υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τη χρονική περίοδο με την περιοδική πληρωμή κουπονιού και διαιρώντας την προκύπτουσα αξία με 1 συν την περιοδική απόδοση που αυξάνεται μέχρι το χρόνο μέχρι τη λήξη.Στη συνέχεια, η τιμή υπολογίζεται για κάθε περίοδο και προστίθεται.Στη συνέχεια, η προκύπτουσα τιμή προστίθεται στον συνολικό αριθμό περιόδων πολλαπλασιαζόμενο με την ονομαστική τιμή, διαιρούμενο με το 1, συν την περιοδική απόδοση που αυξάνεται στον συνολικό αριθμό περιόδων.Στη συνέχεια, η αξία διαιρείται με την τρέχουσα τιμή ομολόγου.

MacaulayΔιάρκεια = ( t = 1 n t ντο ( 1 + y ) t + n Μ ( 1 + y ) n ) Τρέχουσα τιμή ομολόγου όπου: ντο = περιοδική κουπόνι y = περιοδική απόδοση Μ = η αξία ωριμότητας του ομολόγου n = διάρκεια των περιόδων δεσμού start{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left(sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{Τρέχουσα τιμή ομολόγου}} &textbf{where:} &C=text{περιοδική πληρωμή κουπονιού} &y=text{periodic yield} &M=text{the bond's τιμή λήξης} &n=text{διάρκεια ομολόγου σε περιόδους} end{aligned} ,MacaulayΔιάρκεια=Τρέχουσα τιμή ομολόγου(t=1n,(1+ε)tt∗C,+(1+ε)nn∗M,),όπου:C=περιοδική κουπόνιy=περιοδική απόδοσηΜ=η αξία ωριμότητας του ομολόγουn=διάρκεια των περιόδων δεσμού,

Η τιμή ενός ομολόγου υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις ταμειακές ροές επί 1, μείον 1, διαιρούμενο με 1, συν την απόδοση μέχρι τη λήξη, αυξημένη στον αριθμό των περιόδων διαιρούμενο με την απαιτούμενη απόδοση.Η προκύπτουσα αξία προστίθεται στην ονομαστική αξία ή στην αξία λήξης του ομολόγου διαιρούμενο με το 1, συν την απόδοση στη λήξη που αυξάνεται στον συνολικό αριθμό των περιόδων.

Για παράδειγμα, εξετάστε ένα τριετές ομόλογο με αξία λήξης 1.000 $ και επιτόκιο κουπονιού 6% που καταβάλλεται ανά εξάμηνο.Το ομόλογο πληρώνει το κουπόνι δύο φορές το χρόνο και πληρώνει το κεφάλαιο στην τελική πληρωμή.Λαμβάνοντας υπόψη αυτό, αναμένονται οι ακόλουθες ταμειακές ροές τα επόμενα τρία χρόνια:

Περίοδος 1 : $ 30 Περίοδος 2 : $ 30 Περίοδος 3 : $ 30 Περίοδος 4 : $ 30 Περίοδος 5 : $ 30 Περίοδος 6 : $ 1 , 030 start{στοίχιση} &text{Περίοδος 1}: $30 &text{Period 2}: $30 &text{Period 3}: $30 &text{Period 4}: $30 &text{Period 5}: $30 &text{Period 6}: 1.030 $ end{aligned} ,Περίοδος 1: $30Περίοδος 2: $30Περίοδος 3: $30Περίοδος 4: $30Περίοδος 5: $30Περίοδος 6: 1.030 $,

Με γνωστές τις περιόδους και τις ταμειακές ροές, πρέπει να υπολογίζεται ένας συντελεστής έκπτωσης για κάθε περίοδο.Αυτό υπολογίζεται ως 1 ÷ (1 + r)n, όπου r είναι το επιτόκιο και n είναι ο αριθμός της εν λόγω περιόδου.Το επιτόκιο, r, ανακατεμένο ανά εξάμηνο είναι 6% ÷ 2 = 3%.Επομένως, οι παράγοντες έκπτωσης θα είναι:

Period1DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0,9709 Period2DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0,9426 Period3DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Period5DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Period6DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 start{aligned} &text{Period 1 Discount Factor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0,9709 &text{Period 2 Discount Factor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0,9426 eriod 3{P Συντελεστής έκπτωσης}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Περίοδος 4 Discount Factor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Περίοδος 5 Discount Factor} (1 1 div + .03 ) ^ 5 = 0,8626 &text{Συντελεστής έκπτωσης περιόδου 6}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0,8375 end{στοίχιση} ,Period1DiscountFactor:1÷(1+.03)1=0,9709Period2DiscountFactor:1÷(1+.03)2=0,9426Period3DiscountFactor:1÷(1+.03)3=0,9151Period4DiscountFactor:1÷(1+.03)4=0,8885Period5DiscountFactor:1÷(1+.03)5=0,8626Period6DiscountFactor:1÷(1+.03)6=0,8375,

Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τις ταμειακές ροές της περιόδου με τον αριθμό περιόδου και με τον αντίστοιχο συντελεστή έκπτωσης για να βρείτε την παρούσα αξία της ταμειακής ροής:

Περίοδος 1 : 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29.13 Περίοδος 2 : 2 × $ 30 × 0,9426 = $ 56,56 Περίοδος 3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82,36 Περίοδος 4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106,62 Περίοδος 5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129,39 Περίοδος 6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175,65 Περίοδος = 1 6 = $ 5 , 579,71 = αριθμητής start{στοίχιση} &κείμενο{Περίοδος 1}: 1 φορές 30 $ επί 0,9709 = 29,13 $ &κείμενο{Περίοδος 2}: 2 φορές 30 $ επί 0,9426 = 56,56 $ &κείμενο{Περίοδος 3}: 3 φορές 30 $ επί 0,9709 $ = 30 $ επί 0,915 $ = 8,915 $t. }: 4 φορές 30 $ επί 0,8885 = 106,62 $ &κείμενο{Περίοδος 5}: 5 φορές επί 30 $ επί 0,8626 = 129,39 $ &κείμενο{Περίοδος 6}: 6 φορές 1.030 $ επί 0,8375 = 5,175 $ = 5,175 $ = 6 = ^{ext = 6 = ^{ext_t. } = 5.579,71 $ = κείμενο{numerator} end{στοίχιση} ,Περίοδος 1:1×$30×0,9709=29,13$Περίοδος 2:2×$30×0,9426=56,56$Περίοδος 3:3×$30×0,9151=82,36$Περίοδος 4:4×$30×0,8885=106,62$Περίοδος 5:5×$30×0,8626=129,39$Περίοδος 6:6×1030×0,8375$=5175,65$Περίοδος=16,= 5.579,71 $ =αριθμητής,

CurrentBondPrice = PVCashFlows = 1 6 CurrentBondPrice = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 CurrentBondPrice = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 CurrentBondPrice = $ 1 , 000 CurrentBondPrice = παρονομαστής αρχή{στοίχιση} &κείμενο{Τρέχουσα τιμή ομολόγου} = άθροισμα_{κείμενο{ Ροές μετρητών PV } = 1} ^ {6} &φάντασμα{ κείμενο{Τρέχουσα τιμή ομολόγου} } = 30 div ( 1 + ,03 ) ^ 1 + 30 div ( 1 + .03 ) ^ 2 &phantom{ text{Τρέχουσα τιμή ομολόγου} = } + cdots + 1030 div ( 1 + .03 ) ^ 6 &phantom{ text{Τρέχουσα τιμή ομολόγου} } = $1.000 &phantom{ text{Τρέχον Τιμή ομολόγου} } = κείμενο{παρονομαστής} τέλος{στοίχιση} ,CurrentBondPrice=PVCashFlows=16,CurrentBondPrice=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2CurrentBondPrice=+⋯+1030÷(1+.03)6CurrentBondPrice= 1.000$CurrentBondPrice=παρονομαστής,

(Σημειώστε ότι εφόσον το επιτόκιο του κουπονιού και το επιτόκιο είναι το ίδιο, το ομόλογο θα διαπραγματεύεται στο άρτιο.)

MacaulayΔιάρκεια = $ 5 , 579,71 ÷ $ 1 , 000 = 5,58 start{aligned} &text{Macaulay Duration} = 5.579,71 $ div 1.000 $ = 5,58 end{στοίχιση} ,MacaulayΔιάρκεια= 5.579,71$÷1.000$=5,58,

Σημειώστε ότι αυτός ο υπολογισμός διάρκειας είναι για 5,58 εξαμηνιαία, αφού το ομόλογο εξοφλείται σε εξάμηνο.Η ετήσια διάρκεια είναι επομένως 5,58/2 =2,79 έτη, δηλαδή μικρότερη από τα τρία έτη κατά τα οποία λήγει το ομόλογο.

Η Τροποποιημένη Διάρκεια

Τροποποιημένη Διάρκεια = MacauleyΔιάρκεια ( 1 + Υ Τ Μ n ) όπου: Υ Τ Μ = απόδοση ωριμότητας n = αριθμός περιόδων κουπονιού ανά έτος start{aligned} &text{Modified Duration}=frac{text{Macauley Duration}}{left( 1 + frac{YTM}{n}δεξιά)} &textbf{where:} &YTM=text{yield to maturity} &n =text{αριθμός περιόδων κουπονιού ανά έτος} end{aligned} ,Τροποποιημένη Διάρκεια=(1+nYTM,)MacauleyΔιάρκεια,όπου:YTM=απόδοση ωριμότηταςn=αριθμός περιόδων κουπονιού ανά έτος,

Η Themodified Duration είναι μια προσαρμοσμένη έκδοση της διάρκειας Macaulay, η οποία αντιπροσωπεύει τη μεταβολή της απόδοσης στις λήξεις.Ο τύπος για την τροποποιημένη διάρκεια είναι η αξία της διάρκειας Macaulay διαιρούμενη με 1, συν την απόδοση έως τη λήξη, διαιρούμενη με τον αριθμό των περιόδων κουπονιών ανά έτος.Η τροποποιημένη διάρκεια καθορίζει τις αλλαγές στη διάρκεια και την τιμή ενός ομολόγου για κάθε ποσοστό μεταβολής της απόδοσης έως τη λήξη.

Για παράδειγμα, ας δούμε τον δεσμό μας από το παραπάνω παράδειγμα, ο οποίος υπολογίστηκε ότι είχε διάρκεια Macaulay 5,58 ετών.Η τροποποιημένη διάρκεια για αυτό το ομόλογο θα είναι:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71%

Ο τύπος για τον υπολογισμό της ποσοστιαίας μεταβολής στην τιμή του ομολόγου είναι η μεταβολή της απόδοσης πολλαπλασιαζόμενη με την αρνητική τιμή της τροποποιημένης διάρκειας πολλαπλασιασμένη επί 100%.Αυτή η προκύπτουσα ποσοστιαία μεταβολή του ομολόγου, για αύξηση επιτοκίου από 8% σε 9%, υπολογίζεται σε -2,71%.Επομένως, εάν τα επιτόκια αυξηθούν κατά 1% σε μια νύχτα, η τιμή του ομολόγου αναμένεται να μειωθεί κατά 2,71%.

Οι Τροποποιημένες Ανταλλαγές Διάρκειας και Επιτοκίου

Η τροποποιημένη διάρκεια θα μπορούσε να παραταθεί για να υπολογιστεί ο αριθμός των ετών που θα χρειαζόταν μια ανταλλαγή επιτοκίων για την αποπληρωμή του τιμήματος που καταβλήθηκε για τη συμφωνία ανταλλαγής.Μια ανταλλαγή επιτοκίων είναι η ανταλλαγή ενός συνόλου ταμειακών ροών με ένα άλλο και βασίζεται σε προδιαγραφές επιτοκίου μεταξύ των μερών.

Η τροποποιημένη διάρκεια υπολογίζεται διαιρώντας την αξία του δολαρίου μιας μεταβολής μιας μονάδας βάσης ενός σκέλους ανταλλαγής επιτοκίων ή μιας σειράς ταμειακών ροών με την παρούσα αξία της σειράς ταμειακών ροών.Στη συνέχεια, η τιμή πολλαπλασιάζεται επί 10.000.Η τροποποιημένη διάρκεια για κάθε σειρά ταμειακών ροών μπορεί επίσης να υπολογιστεί διαιρώντας την αξία σε δολάρια μιας αλλαγής μονάδας βάσης της σειράς ταμειακών ροών με την πλασματική αξία συν την αγοραία αξία.Στη συνέχεια, το κλάσμα πολλαπλασιάζεται επί 10.000.

Η τροποποιημένη διάρκεια και των δύο σκελών πρέπει να υπολογιστεί για να υπολογιστεί η τροποποιημένη διάρκεια της ανταλλαγής επιτοκίου.Η διαφορά μεταξύ των δύο τροποποιημένων διάρκειων είναι η τροποποιημένη διάρκεια της ανταλλαγής επιτοκίου.Ο τύπος για την τροποποιημένη διάρκεια της ανταλλαγής επιτοκίου είναι η τροποποιημένη διάρκεια του σκέλους λήψης μείον την τροποποιημένη διάρκεια του σκέλους πληρωμής.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η τράπεζα Α και η τράπεζα Β συνάπτουν μια ανταλλαγή επιτοκίων.Η τροποποιημένη διάρκεια του σκέλους λήψης μιας ανταλλαγής υπολογίζεται ως εννέα έτη και η τροποποιημένη διάρκεια του σκέλους πληρωμής υπολογίζεται ως πέντε έτη.Η προκύπτουσα τροποποιημένη διάρκεια της ανταλλαγής επιτοκίου είναι τέσσερα έτη (9 έτη – 5 έτη).

Βασικές Διαφορές

Δεδομένου ότι η διάρκεια του Macaulay μετρά τον σταθμισμένο μέσο χρόνο που ένας επενδυτής πρέπει να κρατήσει ένα ομόλογο έως ότου η παρούσα αξία των ταμειακών ροών του ομολόγου ισούται με το ποσό που καταβάλλεται για το ομόλογο, χρησιμοποιείται συχνά από διαχειριστές ομολόγων που θέλουν να διαχειριστούν τον κίνδυνο χαρτοφυλακίου ομολόγων με στρατηγικές ανοσοποίησης.

Αντίθετα, η τροποποιημένη διάρκεια προσδιορίζει πόσο αλλάζει η διάρκεια για κάθε ποσοστιαία μεταβολή της απόδοσης, ενώ μετράει πόσο μια αλλαγή στα επιτόκια επηρεάζει την τιμή ενός ομολόγου.Έτσι, η τροποποιημένη διάρκεια μπορεί να παρέχει ένα μέτρο κινδύνου στους επενδυτές ομολόγων προσεγγίζοντας πόσο θα μπορούσε να μειωθεί η τιμή ενός ομολόγου με αύξηση των επιτοκίων.Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι οι τιμές των ομολόγων και τα επιτόκια έχουν αντίστροφη σχέση μεταξύ τους.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Macaulay και τροποποιημένης διάρκειας;

Η διάρκεια Macaulay είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος έως τη λήξη των ταμειακών ροών από ένα ομόλογο.

Η τροποποιημένη διάρκεια είναι η ευαισθησία τιμής ενός ομολόγου στις αλλαγές των επιτοκίων, η οποία παίρνει τη διάρκεια Macaulay και την προσαρμόζει για την απόδοση του ομολόγου έως τη λήξη (YTM).

Είναι η Τροποποιημένη Διάρκεια Πάντα Μικρότερη από τη Διάρκεια Macaulay;

Επειδή η τροποποιημένη διάρκεια διαιρεί την τροποποιημένη διάρκεια με το ένα συν την τροποποιημένη απόδοση έως τη λήξη, θα είναι πάντα μικρότερη από τη διάρκεια του Macaulay - εκτός από τη σπάνια περίπτωση εάν το τροποποιημένο YTM είναι ίσο με μηδέν, οπότε και τα δύο θα είναι τα ίδια αφού ο παρονομαστής θα είναι 1 + 0% = 1.

Τι είναι η διάρκεια του δολαρίου;

Η διάρκεια του δολαρίου μετρά τη μεταβολή του δολαρίου στην αξία ενός ομολόγου σε μια αλλαγή στο επιτόκιο της αγοράς, παρέχοντας έναν απλό υπολογισμό του ποσού σε δολάρια, δεδομένης μιας αλλαγής 1% στα επιτόκια.