Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF)

Τι είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF);

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) είναι μια στατιστική έκφραση που ορίζει την κατανομή πιθανοτήτων (την πιθανότητα ενός αποτελέσματος) για μια διακριτική τυχαία μεταβλητή (π.χ. μια μετοχή ή ETF) σε αντίθεση με μια συνεχή τυχαία μεταβλητή.Η διαφορά μεταξύ μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ότι μπορείτε να προσδιορίσετε μια ακριβή τιμή της μεταβλητής.

Η κανονική κατανομή είναι ένα συνηθισμένο παράδειγμα PDF, που σχηματίζει το γνωστό σχήμα καμπύλης καμπάνας.

Στα χρηματοοικονομικά, οι έμποροι και οι επενδυτές χρησιμοποιούν αρχεία PDF για να κατανοήσουν πώς κατανέμονται οι αποδόσεις τιμών προκειμένου να αξιολογήσουν το προφίλ κινδύνου και την αναμενόμενη απόδοση τους.

Βασικά Takeaways

  • Οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας είναι ένα στατιστικό μέτρο που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του πιθανού αποτελέσματος μιας διακριτής τιμής (π.χ., η τιμή μιας μετοχής ή ETF).
  • Τα PDF σχεδιάζονται σε ένα γράφημα που μοιάζει συνήθως με καμπύλη καμπάνας, με την πιθανότητα τα αποτελέσματα να βρίσκονται κάτω από την καμπύλη.
  • Μια διακριτή μεταβλητή μπορεί να μετρηθεί ακριβώς, ενώ μια συνεχής μπορεί να έχει άπειρες τιμές.
  • Τα PDF μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μέτρηση του πιθανού κινδύνου/ανταμοιβής ενός συγκεκριμένου τίτλου ή κεφαλαίου σε ένα χαρτοφυλάκιο.
  • Η κανονική κατανομή αναφέρεται συχνά, σχηματίζοντας μια καμπύλη σε σχήμα καμπάνας.

Κατανόηση των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας (PDF)

Τα PDF χρησιμοποιούνται στη χρηματοδότηση για τη μέτρηση του κινδύνου ενός συγκεκριμένου τίτλου, όπως μια μεμονωμένη μετοχή ή ETF.

Συνήθως απεικονίζονται σε ένα γράφημα, με μια κανονική καμπύλη καμπάνας που υποδεικνύει ουδέτερο κίνδυνο αγοράς και ένα κουδούνι σε κάθε άκρο που δείχνει μεγαλύτερο ή μικρότερο κίνδυνο/ανταμοιβή.Όταν το PDF απεικονίζεται γραφικά, η περιοχή κάτω από την καμπύλη θα υποδεικνύει το διάστημα στο οποίο θα πέσει η μεταβλητή.Η συνολική περιοχή σε αυτό το διάστημα του γραφήματος ισούται με την πιθανότητα να εμφανιστεί μια διακριτή τυχαία μεταβλητή.

Πιο συγκεκριμένα, δεδομένου ότι η απόλυτη πιθανότητα μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής να λάβει οποιαδήποτε συγκεκριμένη τιμή είναι μηδέν λόγω του άπειρου συνόλου πιθανών διαθέσιμων τιμών, η τιμή ενός PDF μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής να εμπίπτει σε ένα συγκεκριμένο εύρος των αξιών.

Εικόνα από την Julie Bang © Investopedia2020

Μια κατανομή λοξή στη δεξιά πλευρά της καμπύλης υποδηλώνει μεγαλύτερη ανοδική ανταμοιβή, ενώ μια κατανομή λοξή προς τα αριστερά υποδηλώνει μεγαλύτερο κίνδυνο για τους εμπόρους.

Οι κατανομές πιθανοτήτων μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία συναρτήσεων αθροιστικής κατανομής (CDF), οι οποίες αθροίζουν την πιθανότητα εμφανίσεων αθροιστικά και θα ξεκινούν πάντα από το μηδέν και θα τελειώνουν στο 100%.

Οι επενδυτές θα πρέπει να χρησιμοποιούν PDF ως ένα από τα πολλά εργαλεία για τον υπολογισμό του συνολικού κινδύνου/ανταμοιβής στα χαρτοφυλάκιά τους.

Διακριτικό vs.Συναρτήσεις Συνεχούς Κατανομής Πιθανοτήτων

Τα PDF μπορούν να περιγράφουν είτε διακριτά είτε συνεχή δεδομένα.Η διαφορά είναι ότι οι διακριτές μεταβλητές μπορούν να λάβουν μόνο συγκεκριμένες τιμές, όπως ακέραιους αριθμούς, ναι έναντι όχι, ώρες της ημέρας και ούτω καθεξής.Μια συνεχής μεταβλητή, αντίθετα, περιέχει όλες τις τιμές κατά μήκος της καμπύλης, συμπεριλαμβανομένων πολύ μικρών κλασμάτων ή δεκαδικών σε έναν θεωρητικά άπειρο αριθμό θέσεων.

Διακριτικό vs.Συνεχές PDF.

Εικόνα από την Julie Bang © Investopedia2020

Υπολογισμός Συνάρτησης Κατανομής Πιθανοτήτων

Τα PDF συχνά χαρακτηρίζονται από τον μέσο όρο, την τυπική απόκλιση, την κύρτωση και τη λοξότητα τους.

  • Μέσος όρος: η αριθμητική μέση τιμή
  • Τυπική απόκλιση: η διασπορά των δεδομένων σχετικά με τον μέσο όρο
  • Kurtosis: περιγράφει το «πάχος» της ουράς του PDF
  • Skewness: αναφέρεται σε αποκλίσεις στη συμμετρία του PDF

Ο υπολογισμός του PDF και η γραφική του γραφική παράσταση μπορεί να περιλαμβάνει σύνθετους υπολογισμούς που χρησιμοποιούν διαφορικές εξισώσεις ή ολοκληρωτικό λογισμό.Στην πράξη, για τον υπολογισμό μιας συνάρτησης κατανομής πιθανοτήτων απαιτούνται αριθμομηχανές γραφικών ή στατιστικά πακέτα λογισμικού.

Η Κανονική Διανομή

Για παράδειγμα, ο υπολογισμός για το PDF της κανονικής κατανομής είναι ο εξής:

Φόρμουλα Κανονικής Κατανομής.

όπου:

  • x= τιμή της μεταβλητής ή δεδομένων που εξετάζονται και f(x) η συνάρτηση πιθανότητας
  • μ = ο μέσος όρος
  • σ = η τυπική απόκλιση

Μια κανονική κατανομή έχει πάντα λοξότητα = 0 και κύρτωση = 3,0.

Άλλες Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανοτήτων

Ενώ η κανονική διανομή είναι συχνά η πιο γνωστή και γνωστή, υπάρχουν πολλά άλλα PDF.

Ομοιόμορφη Διανομή

Η απλούστερη και πιο δημοφιλής κατανομή είναι η ομοιόμορφη κατανομή, στην οποία όλα τα αποτελέσματα έχουν ίσες πιθανότητες να εμφανιστούν.Μια μήτρα έξι όψεων έχει ομοιόμορφη κατανομή.Κάθε έκβαση έχει πιθανότητα περίπου 16,67% (1/6).

Εικόνα από την Julie Bang © Investopedia2020

Διωνυμική κατανομή

Η διωνυμική κατανομή αντιπροσωπεύει δεδομένα που μπορούν να λάβουν μόνο μία από τις δύο τιμές, όπως η ανατροπή ενός νομίσματος (κεφαλές έναντι ουρών) ή λογικές εκφράσεις που έχουν τη μορφή ναι/όχι, ενεργοποίηση/απενεργοποίηση κ.λπ.

Ιστόγραμμα διωνυμικής κατανομής.C.K.Taylor

Lognormal Κατανομή

Η λογαριθμική κανονική κατανομή είναι σημαντική στα χρηματοοικονομικά επειδή περιγράφει καλύτερα τις πραγματικές αποδόσεις των τιμών των περιουσιακών στοιχείων από την τυπική κανονική διανομή.Αυτό το PDF έχει θετική (δεξιά) λοξότητα και υψηλότερη κύρτωση.

Lognormal Κατανομή.

Εικόνα από την Julie Bang © Investopedia2020

Διανομή Poisson

Η κατανομή Poisson είναι ένα PDF που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τις μεταβλητές μέτρησης ή τις πιθανότητες να συμβεί συγκεκριμένος αριθμός περιστατικών.Για παράδειγμα, πόσα μήλα βρίσκονται σε μηλιές, πόσες μέλισσες είναι ζωντανές σε μια κυψέλη με την πάροδο του χρόνου ή πόσες ημέρες συναλλαγών ένα χαρτοφυλάκιο θα χάσει 5% ή περισσότερο.

Εικόνα από την Julie Bang © Investopedia2020

Διανομή Beta

Η διανομή beta είναι ένας γενικός τύπος PDF που μπορεί να λάβει ποικίλα σχήματα και χαρακτηριστικά, όπως ορίζονται από δύο μόνο παραμέτρους: άλφα και βήτα.Χρησιμοποιείται συχνά στα χρηματοοικονομικά για την εκτίμηση των ποσοστών ανάκτησης αθέτησης ομολόγων ή των ποσοστών θνησιμότητας στις ασφάλειες.

Παραλλαγές Διανομής Βήτα.

Παράδειγμα συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας

Ως απλό παράδειγμα κατανομής πιθανοτήτων, ας δούμε τον αριθμό που παρατηρείται όταν ρίχνουμε δύο τυπικά ζάρια έξι όψεων.Κάθε ζάρι έχει 1/6 πιθανότητα να ρίξει οποιονδήποτε μεμονωμένο αριθμό, από το ένα έως το έξι, αλλά το άθροισμα δύο ζαριών θα σχηματίσει την κατανομή πιθανότητας που απεικονίζεται στην παρακάτω εικόνα.

Το επτά είναι το πιο κοινό αποτέλεσμα (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Δύο και δώδεκα, από την άλλη πλευρά, είναι πολύ λιγότερο πιθανό (1+1 και 6+6).

Εικόνα από Sabrina Jiang © Investopedia2020

Τι μας λέει μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF);

Μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) περιγράφει πόσο πιθανό είναι να παρατηρηθεί κάποιο αποτέλεσμα που προκύπτει από μια διαδικασία παραγωγής δεδομένων.Για παράδειγμα, πόσο πιθανό είναι να ανέβει ένα δίκαιο κέρμα (50%). Ή ο ρόλος ενός ζαριού να ανέβει 6 (1/6 = 16,7%). Ένα PDF μπορεί να μας πει ποιες τιμές είναι επομένως πιο πιθανό να εμφανιστούν έναντι των λιγότερο πιθανών αποτελεσμάτων.Αυτό θα αλλάξει ανάλογα με το σχήμα και τα χαρακτηριστικά του PDF.

Τι είναι το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (CLT) και πώς σχετίζεται με τα PDF;

Το κεντρικό οριακό θεώρημα (CLT) δηλώνει ότι η κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής σε ένα δείγμα θα αρχίσει να προσεγγίζει μια κανονική κατανομή καθώς το μέγεθος του δείγματος γίνεται μεγαλύτερο, ανεξάρτητα από το πραγματικό σχήμα της κατανομής.Έτσι, γνωρίζουμε ότι το χτύπημα ενός νομίσματος είναι μια δυαδική διαδικασία, που περιγράφεται από τη διωνυμική κατανομή (κεφαλές ή ουρές). Ωστόσο, αν λάβουμε υπόψη πολλές πετάξεις νομισμάτων, οι πιθανότητες να αποκτήσετε έναν συγκεκριμένο συνδυασμό κεφαλιών και ουρών αρχίζουν να διαφέρουν.Για παράδειγμα, αν γυρνούσαμε το νόμισμα δέκα φορές, οι πιθανότητες να πάρουμε 5 από το καθένα είναι πολύ πιθανό, αλλά να πάρουμε δέκα κεφάλια στη σειρά είναι εξαιρετικά σπάνιο.Φανταστείτε 1.000 ανατροπές νομισμάτων και η κατανομή πλησιάζει την κανονική καμπύλη καμπάνας.

Τι είναι ένα PDF έναντι ενός CDF;

Μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) εξηγεί ποιες τιμές είναι πιθανό να εμφανιστούν σε μια διαδικασία δημιουργίας δεδομένων οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή ή για κάθε δεδομένη κλήρωση.

Μια αθροιστική συνάρτηση κατανομής (CDF) αντιθέτως απεικονίζει πώς αυτές οι οριακές πιθανότητες αθροίζονται, φτάνοντας τελικά στο 100% (ή 1,0) των πιθανών αποτελεσμάτων.Χρησιμοποιώντας ένα CDF μπορούμε να δούμε πόσο πιθανό είναι το αποτέλεσμα μιας μεταβλητής να είναι μικρότερο ή ίσο με κάποια προβλεπόμενη τιμή.

Το παρακάτω σχήμα, για παράδειγμα, δείχνει το CDF για μια κανονική κατανομή.

CDF.

Εικόνα από την Julie Bang © Investopedia2020

Η κατώτατη γραμμή

Οι συναρτήσεις κατανομής πιθανοτήτων (PDF) περιγράφουν τις αναμενόμενες τιμές των τυχαίων μεταβλητών που προέρχονται από ένα δείγμα.Το σχήμα του PDF εξηγεί πόσο πιθανό είναι να έχει εμφανιστεί μια παρατηρούμενη τιμή.Η κανονική κατανομή είναι ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο παράδειγμα που μπορεί να περιγραφεί μόνο ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση.Τα άλλα αρχεία PDF είναι πιο περίπλοκα και πιο σύνθετα.Οι αποδόσεις των τιμών των μετοχών τείνουν να ακολουθούν μια λογαριθμική κανονική κατανομή παρά μια κανονική, υποδεικνύοντας ότι οι απώλειες προς τα κάτω είναι πιο συχνές από τα πολύ μεγάλα κέρδη, σε σχέση με αυτό που θα προέβλεπε η κανονική κατανομή.