Durée Macaulay vs durée modifiée : quelle est la différence ?

Durée de Macaulay vs.Durée modifiée : un aperçu

La duration de Macaulay et la duration modifiée sont principalement utilisées pour calculer la duration des obligations.La durée de Macaulay calcule le temps moyen pondéré avant qu'un détenteur d'obligations ne reçoive les flux de trésorerie de l'obligation.À l'inverse, la sensibilité au prix mesure la sensibilité au prix d'une obligation lorsqu'il y a un changement du rendement à l'échéance.

Points clés à retenir

  • Il existe plusieurs façons d'aborder le concept de durée ou la sensibilité du prix d'un actif à revenu fixe aux variations des taux d'intérêt.
  • La durée de Macaulay est la durée moyenne pondérée jusqu'à l'échéance des flux de trésorerie d'une obligation et est fréquemment utilisée par les gestionnaires de portefeuille qui utilisent une stratégie d'immunisation.
  • La durée modifiée d'une obligation est une version ajustée de la durée de Macaulay et est utilisée pour calculer les variations de la durée et du prix d'une obligation pour chaque variation en pourcentage du rendement à l'échéance.

La durée de Macaulay

La duration de Macaulay est calculée en multipliant la période par le paiement périodique du coupon et en divisant la valeur résultante par 1 plus le rendement périodique augmenté jusqu'à l'échéance.Ensuite, la valeur est calculée pour chaque période et additionnée.Ensuite, la valeur résultante est ajoutée au nombre total de périodes multiplié par la valeur nominale, divisée par 1, plus le rendement périodique élevé au nombre total de périodes.Ensuite, la valeur est divisée par le prix actuel de l'obligation.

MacaulayDurée = ( t = 1 n t C ( 1 + y ) t + n M ( 1 + y ) n ) Prix ​​actuel de l'obligation où: C = paiement de coupon périodique y = rendement périodique M = la valeurd'échéance de l'obligation n = duréedubondenpériodes begin{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{Prix actuel de l'obligation}} &textbf{où :} &C=text{paiement de coupon périodique} &y=text{rendement périodique} &M=text{le rendement de l'obligation valeur d'échéance} &n=text{durée de l'obligation en périodes} end{aligned} MacaulayDurée=Prix ​​actuel de l'obligation(t=1n(1+a)tt∗C+(1+a)nn∗M)où:C=paiement de coupon périodiquey=rendement périodiqueM=la valeurd'échéance de l'obligationn=duréedubondenpériodes

Le prix d'une obligation est calculé en multipliant le flux de trésorerie par 1, moins 1, divisé par 1, plus le rendement à l'échéance, augmenté du nombre de périodes divisé par le rendement requis.La valeur résultante est ajoutée à la valeur nominale, ou valeur à l'échéance, de l'obligation divisée par 1, plus le rendement à l'échéance porté au nombre total de périodes.

Par exemple, considérons une obligation de trois ans avec une valeur à l'échéance de 1 000 $ et un taux de coupon de 6 % payé semestriellement.L'obligation paie le coupon deux fois par an et rembourse le principal lors du paiement final.Dans ce contexte, les flux de trésorerie suivants sont attendus au cours des trois prochaines années :

Période1 : $ 30 Période2 : $ 30 Période3 : $ 30 Période4 : $ 30 Période5 : $ 30 Période6 : $ 1 , 030 begin{aligned} &text{Période 1} : 30 $ &text{Période 2} : 30 $ &text{Période 3} : 30 $ &text{Période 4} : 30 $ &text{Période 5} : 30 $ &text{Période 6} : 1 030 $ end{aligned} Période1:30 $Période2:30 $Période3:30 $Période4:30 $Période5:30 $Période6: 1 030 $

Les périodes et les flux de trésorerie étant connus, un facteur d'actualisation doit être calculé pour chaque période.Ceci est calculé comme 1 ÷ (1 + r)n, où r est le taux d'intérêt et n est le numéro de période en question.Le taux d'intérêt, r, composé semestriellement est de 6 % ÷ 2 = 3 %.Par conséquent, les facteurs d'actualisation seraient :

Period1DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0,9709 Period2DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0,9426 Period3DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Period5DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Period6DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 begin{aligned} &text{Facteur de remise pour la période 1} : 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 1 = 0,9709 &text{Facteur de remise pour la période 2} : 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 2 = 0,9426 &text{Période 3 Facteur de remise} : 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Facteur de remise pour la période 4} : 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Facteur de remise pour la période 5} : 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 5 = 0,8626 &text{Facteur d'actualisation de la période 6} : 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 6 = 0,8375 end{aligned} Period1DiscountFactor:1÷(1+.03)1=0,9709Period2DiscountFactor:1÷(1+.03)2=0,9426Period3DiscountFactor:1÷(1+.03)3=0,9151Period4DiscountFactor:1÷(1+.03)4=0,8885Period5DiscountFactor:1÷(1+.03)5=0,8626Period6DiscountFactor:1÷(1+.03)6=0,8375

Ensuite, multipliez le flux de trésorerie de la période par le numéro de la période et par son facteur d'actualisation correspondant pour trouver la valeur actuelle du flux de trésorerie :

Période1 : 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29.13 Période2 : 2 × $ 30 × 0,9426 = $ 56,56 Période3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82,36 Période4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106,62 Période5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129,39 Période6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175,65 Période = 1 6 = $ 5 , 579.71 = numérateur begin{aligned} &text{Période 1} : 1 fois 30 $ fois 0,9709 = 29,13 $ &text{Période 2} : 2 fois 30 $ fois 0,9426 = 56,56 $ &text{Période 3} : 3 fois 30 $ fois 0,9151 = 82,36 $ &text{Période 4 } : 4 fois 30 $ fois 0,8885 = 106,62 $ &text{Période 5} : 5 fois 30 $ fois 0,8626 = 129,39 $ &text{Période 6} : 6 fois 1 030 $ fois 0,8375 = 5 175,65 $ &sum_{text{ Période } = 1} ^ {6 } = $5 579,71 = text{numerator} end{aligned} Période1:1×30$×0.9709=29.13$Période2:2×30$×0.9426=56.56$Période3:3×30$×0.9151=82.36$Période4:4×30$×0.8885=106.62$Période5:5×30$×0.8626=129.39$Période6:6×1 030 $×0,8375 =5 175,65 $Période=16=$5,579.71=numérateur

Cours de l'obligation actuel = PVCashFlows = 1 6 Cours de l'obligation actuel = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 Cours de l'obligation actuel = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 Cours de l'obligation actuel = $ 1 , 000 Cours de l'obligation actuel = dénominateur begin{aligned} &text{Prix actuel de l'obligation} = sum_{text{ Flux de trésorerie PV} = 1} ^ {6} &phantom{ text{Prix actuel de l'obligation} } = 30 div ( 1 + 0,03 ) ^ 1 + 30 div ( 1 + 0,03 ) ^ 2 &phantom{ text{Prix actuel de l'obligation} = } + cdots + 1030 div ( 1 + 0,03 ) ^ 6 &phantom{ text{Prix actuel de l'obligation} } = 1 000 $ &phantom{ text{Courant Prix ​​de l'obligation} } = text{dénominateur} end{aligned} Cours de l'obligation actuel=PVCashFlows=16Cours de l'obligation actuel=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2Cours de l'obligation actuel=+⋯+1030÷(1+.03)6Cours de l'obligation actuel= 1 000 $Cours de l'obligation actuel=dénominateur

(Notez que puisque le taux du coupon et le taux d'intérêt sont les mêmes, l'obligation se négociera au pair.)

MacaulayDurée = $ 5 , 579.71 ÷ $ 1 , 000 = 5.58 begin{aligned} &text{Macaulay Duration} = 5 579,71 $ div 1 000 $ = 5,58  end{aligned} MacaulayDurée=$5,579.71÷$1,000=5.58

Notez que ce calcul de durée est de 5,58 semestres, puisque l'obligation est payée semestriellement.La duration annuelle est donc de 5,58/2 =2,79 ans, ce qui est inférieur aux trois ans d'échéance de l'obligation.

La durée modifiée

Duréemodifiée = MacauleyDurée ( 1 + Oui J M n ) où: Oui J M = rendement à maturité n = nombredepériodesdecouponparan begin{aligned} &text{Modified Duration}=frac{text{Macauley Duration}}{left( 1 + frac{YTM}{n}right)} &textbf{where :} &YTM=text{rendement à maturité} &n =text{nombre de périodes de coupon par an} end{aligned} Duréemodifiée=(1+nYTM)MacauleyDuréeoù:YTM=rendement à maturitén=nombredepériodesdecouponparan

La duration modifiée est une version ajustée de la duration de Macaulay, qui tient compte de l'évolution du rendement des échéances.La formule de la durée modifiée est la valeur de la durée de Macaulay divisée par 1, plus le rendement à l'échéance, divisé par le nombre de périodes de coupon par an.La durée modifiée détermine les variations de la durée et du prix d'une obligation pour chaque variation en pourcentage du rendement à l'échéance.

Par exemple, regardons notre obligation de l'exemple ci-dessus, qui a été calculée pour avoir une durée Macaulay de 5,58 ans.La duration modifiée de cette obligation serait de :

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71 %

La formule pour calculer la variation en pourcentage du prix de l'obligation est la variation du rendement multipliée par la valeur négative de la durée modifiée multipliée par 100 %.Ce pourcentage de variation résultant de l'obligation, pour une augmentation des taux d'intérêt de 8 % à 9 %, est calculé comme étant de -2,71 %.Par conséquent, si les taux d'intérêt augmentent de 1 % du jour au lendemain, le prix de l'obligation devrait baisser de 2,71 %.

Les swaps de durée modifiée et de taux d'intérêt

La durée modifiée pourrait être prolongée pour calculer le nombre d'années qu'il faudrait à un swap de taux d'intérêt pour rembourser le prix payé pour le swap.Un swap de taux d'intérêt est l'échange d'un ensemble de flux de trésorerie contre un autre et est basé sur des spécifications de taux d'intérêt entre les parties.

La durée modifiée est calculée en divisant la valeur en dollars d'une variation d'un point de base d'une jambe de swap de taux d'intérêt, ou d'une série de flux de trésorerie, par la valeur actualisée de la série de flux de trésorerie.La valeur est ensuite multipliée par 10 000.La durée modifiée de chaque série de flux de trésorerie peut également être calculée en divisant la valeur en dollars d'une variation d'un point de base de la série de flux de trésorerie par la valeur notionnelle plus la valeur marchande.La fraction est ensuite multipliée par 10 000.

La duration modifiée des deux jambes doit être calculée pour calculer la duration modifiée du swap de taux d'intérêt.La différence entre les deux durées modifiées correspond à la durée modifiée du swap de taux d'intérêt.La formule de la durée modifiée du swap de taux d'intérêt est la durée modifiée de la jambe réceptrice moins la durée modifiée de la jambe payeuse.

Par exemple, supposons que la banque A et la banque B concluent un swap de taux d'intérêt.La durée modifiée de la jambe réceptrice d'un swap est calculée à neuf ans et la durée modifiée de la jambe payeuse est calculée à cinq ans.La duration modifiée du swap de taux d'intérêt qui en résulte est de quatre ans (9 ans – 5 ans).

Principales différences

Étant donné que la durée de Macaulay mesure la durée moyenne pondérée pendant laquelle un investisseur doit détenir une obligation jusqu'à ce que la valeur actuelle des flux de trésorerie de l'obligation soit égale au montant payé pour l'obligation, elle est souvent utilisée par les gestionnaires d'obligations qui cherchent à gérer le risque du portefeuille obligataire avec des stratégies d'immunisation.

En revanche, la durée modifiée identifie dans quelle mesure la durée change pour chaque variation en pourcentage du rendement tout en mesurant l'impact d'une variation des taux d'intérêt sur le prix d'une obligation.Ainsi, la durée modifiée peut fournir une mesure du risque aux investisseurs obligataires en se rapprochant de l'ampleur de la baisse du prix d'une obligation avec une augmentation des taux d'intérêt.Il est important de noter que les prix des obligations et les taux d'intérêt ont une relation inverse les uns avec les autres.

Quelle est la différence entre Macaulay et la durée modifiée ?

La durée de Macaulay est la durée moyenne pondérée jusqu'à l'échéance des flux de trésorerie d'une obligation.

La durée modifiée est la sensibilité du prix d'une obligation aux variations des taux d'intérêt, qui prend la durée de Macaulay et l'ajuste en fonction du rendement à l'échéance (YTM) de l'obligation.

La durée modifiée est-elle toujours inférieure à la durée de Macaulay ?

Étant donné que la durée modifiée divise la durée modifiée par un plus le rendement à l'échéance modifié, elle sera toujours inférieure à la durée de Macaulay - sauf dans les rares cas où le YTM modifié est égal à zéro, auquel cas ils seront tous les deux identiques puisque le dénominateur sera 1 + 0% = 1.

Qu'est-ce que la durée en dollars ?

La durée en dollars mesure la variation en dollars de la valeur d'une obligation par rapport à une variation du taux d'intérêt du marché, fournissant un calcul simple du montant en dollars compte tenu d'une variation de 1 % des taux.