Valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF)

Mi az a valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF)?

A valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF) egy statisztikai kifejezés, amely meghatározza a valószínűségi eloszlást (az eredmény valószínűségét) egy diszkreterális változóra (például részvényre vagy ETF-re) a folytonos valószínűségi változóval szemben.A diszkrét valószínűségi változók közötti különbség az, hogy meghatározhatja a változó pontos értékét.

A normál eloszlás egy gyakori példa a PDF-re, amely a jól ismert haranggörbe alakzatot alkotja.

A pénzügyek területén a kereskedők és a befektetők PDF-ek segítségével megértik, hogyan oszlanak meg az árhozamok, hogy értékeljék kockázati és várható hozamprofiljukat.

Kulcs elvitelek

  • A valószínűségi sűrűségfüggvények egy olyan statisztikai mérőszám, amelyet egy diszkrét érték (például egy részvény vagy ETF árfolyama) valószínű kimenetelének mérésére használnak.
  • A PDF-fájlokat általában egy haranggörbére hasonlító grafikonon ábrázolják, és az eredmények valószínűsége a görbe alatt van.
  • Egy diszkrét változó pontosan mérhető, míg a folytonos változónak végtelen értéke lehet.
  • A PDF-ek segítségével felmérhető a portfólióban lévő adott értékpapír vagy alap lehetséges kockázata/hozama.
  • A normál eloszlást gyakran idézik, harang alakú görbét képezve.

A valószínűségi sűrűségfüggvények (PDF-ek) megértése

A PDF-eket a pénzügyekben használják egy adott értékpapír, például egy egyedi részvény vagy ETF kockázatának felmérésére.

Jellemzően grafikonon vannak ábrázolva, a normál haranggörbével a semleges piaci kockázatot, a két végén lévő harang pedig a nagyobb vagy kisebb kockázatot/nyereséget jelzi.Amikor a PDF grafikusan ábrázolja, a görbe alatti terület jelzi azt az intervallumot, amelybe a változó esik.A grafikon ezen intervallumában lévő teljes terület egyenlő egy diszkrét valószínűségi változó előfordulásának valószínűségével.

Pontosabban, mivel annak abszolút valószínűsége, hogy egy folytonos valószínűségi változó bármilyen értéket felvesz, nulla a rendelkezésre álló lehetséges értékek végtelen halmaza miatt, a PDF értéke felhasználható annak meghatározására, hogy egy valószínűségi változó egy adott tartományba esik. az értékekről.

Kép: Julie Bang © Investopedia2020

A görbe jobb oldalára ferde eloszlás nagyobb felfelé mutató jutalomra utal, míg a balra ferde eloszlás nagyobb lefelé mutató kockázatot jelez a kereskedők számára.

Valószínűségi eloszlások használhatók kumulatív eloszlási függvények (CDF-ek) létrehozására is, amelyek kumulatív módon összeadják az előfordulások valószínűségét, és mindig nullával kezdődnek és 100%-kal végződnek.

A befektetőknek PDF-eket kell használniuk a számos eszköz közül a portfóliójukban rejlő teljes kockázat/nyereség kiszámításához.

Diszkrét vs.Folyamatos valószínűség-eloszlási függvények

A PDF-ek diszkrét vagy folyamatos adatokat írhatnak le.A különbség az, hogy a diszkrét változók csak meghatározott értékeket vehetnek fel, mint például egész számok, igen vs. nem, napszakok és így tovább.Ezzel szemben a folytonos változó az összes értéket tartalmazza a görbe mentén, beleértve a nagyon kis törteket vagy tizedesjegyeket is, elméletileg végtelen számú helyen.

Diszkrét vs.Folyamatos PDF.

Kép: Julie Bang © Investopedia2020

Valószínűségi eloszlási függvény kiszámítása

A PDF-fájlokat gyakran az átlaguk, a szórásuk, a görbületük és a ferdeségük jellemzi.

  • Átlag: a számtani átlagérték
  • Szórás: az adatok szórása az átlagról
  • Kurtosis: leírja a PDF farkának "kövérségét".
  • Ferdeség: a PDF szimmetriájának eltéréseire utal

A PDF kiszámítása és grafikus ábrázolása összetett számításokat igényelhet, amelyek differenciálegyenleteket vagy integrálszámítást használnak.A gyakorlatban grafikus számológépekre vagy statisztikai szoftvercsomagokra van szükség a valószínűségi eloszlási függvény kiszámításához.

A normál eloszlás

Példaként a normál eloszlású PDF számítása a következő:

Normál eloszlási képlet.

ahol:

  • x= a vizsgált változó vagy adat értéke és f(x) a valószínűségi függvény
  • μ = az átlag
  • σ = a szórás

A normál eloszlás ferdesége mindig = 0 és körtózis = 3,0.

Egyéb valószínűség-eloszlási függvények

Míg gyakran a normál eloszlás a legtöbbet idézett és legismertebb, számos más PDF is létezik.

Egyenletes eloszlás

A legegyszerűbb és legnépszerűbb eloszlás az egységes eloszlás, amelyben minden eredmény egyenlő eséllyel fordul elő.A hatoldalú matrica egyenletes eloszlású.Mindegyik eredmény valószínűsége körülbelül 16,67% (1/6).

Kép: Julie Bang © Investopedia2020

Binomiális eloszlás

A binomiális eloszlás olyan adatokat jelöl, amelyek két érték közül csak az egyiket vehetik fel, mint például az érme feldobása (fejek vs. farok), vagy olyan logikai kifejezések, amelyek igen/nem, be/ki stb. formájúak.

Binomiális eloszlás hisztogramja.C.K.Taylor

Lognormális eloszlás

A lognormális eloszlás fontos a pénzügyekben, mert jobban leírja a tényleges eszközár-hozamokat, mint a standard normál eloszlás.Ez a PDF pozitív (jobb oldali) ferdeséggel és magasabb görbülettel rendelkezik.

Lognormális eloszlás.

Kép: Julie Bang © Investopedia2020

Poisson-eloszlás

A Poisson-eloszlás egy PDF-fájl, amely a változók számának vagy bizonyos számú előfordulás valószínűségének leírására szolgál.Például hány alma található az almafákon, hány méh él egy méhkasban az idő múlásával, vagy hány kereskedési napon veszít egy portfólió 5%-ot vagy többet.

Kép: Julie Bang © Investopedia2020

Béta terjesztés

A béta-eloszlás egy általános PDF-típus, amely különféle formákat és jellemzőket vehet fel, amint azt két paraméter határozza meg: az alfa és a béta.A pénzügyekben gyakran használják a kötvények nemteljesítési arányának vagy a biztosítási mortalitásnak a becslésére.

Béta terjesztési változatok.

Példa valószínűségi sűrűségfüggvényre

A valószínűségi eloszlás egyszerű példájaként nézzük meg azt a számot, amelyet két szabványos hatoldalú kocka dobásakor észleltünk.Minden kocka 1/6-os valószínűséggel dob egyetlen számot, egytől hatig, de két kocka összege alkotja az alábbi képen látható valószínűségi eloszlást.

A hét a leggyakoribb eredmény (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). A kettő és a tizenkettő viszont jóval kevésbé valószínű (1+1 és 6+6).

Kép: Sabrina Jiang © Investopedia2020

Mit mond nekünk a valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF)?

A valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF) azt írja le, hogy mekkora valószínűséggel figyelhető meg egy adatgenerálási folyamat eredménye.Például mennyire valószínű, hogy egy tisztességes feldobott érme felbukkan (50%). Vagy a kocka szerepe, hogy 6 legyen (1/6 = 16,7%). A PDF-fájl meg tudja mondani, hogy mely értékek jelennek meg a legnagyobb valószínűséggel, szemben a kevésbé valószínű eredményekkel.Ez a PDF alakjától és jellemzőitől függően változik.

Mi a Central Limit Theorem (CLT) és hogyan kapcsolódik a PDF-ekhez?

A központi határtétel (CLT) azt állítja, hogy egy valószínűségi változó eloszlása ​​a mintában kezd közelíteni a normál eloszláshoz, ahogy a minta mérete nő, függetlenül az eloszlás valódi alakjától.Így tudjuk, hogy az érme feldobása bináris folyamat, amelyet a binomiális eloszlás (fejek vagy farok) ír le. Ha azonban több érmefeldobást is figyelembe vesszük, a fejek és a farok egy adott kombinációjának megszerzésének esélye eltérő lesz.Például, ha tízszer felforgatnánk az érmét, akkor a legvalószínűbb, hogy mindegyikből 5-öt kapunk, de a tíz fej egymás utáni megszerzése rendkívül ritka.Képzeljünk el 1000 érmefeldobást, és az eloszlás megközelíti a normál haranggörbét.

Mi a PDF és a CDF?

A valószínűségi sűrűségfüggvény (PDF) megmagyarázza, hogy egy adott időpontban vagy adott húzás esetén mely értékek jelennek meg valószínűleg az adatgenerálási folyamatban.

A kumulatív eloszlási függvény (CDF) ehelyett azt ábrázolja, hogy ezek a határvalószínűségek hogyan adódnak össze, és végül eléri a lehetséges kimenetelek 100%-át (vagy 1,0-át).A CDF segítségével láthatjuk, mekkora a valószínűsége annak, hogy egy változó kimenetele kisebb vagy egyenlő lesz valamilyen előrejelzett értéknél.

Az alábbi ábra például a normál eloszlás CDF-jét mutatja.

CDF.

Kép: Julie Bang © Investopedia2020

Alsó vonal

A valószínűségi eloszlási függvények (PDF-ek) a mintából vett valószínűségi változók várható értékeit írják le.A PDF alakja megmagyarázza, hogy mekkora valószínűséggel történt egy megfigyelt érték.A normál eloszlás egy általánosan használt példa, amely csak az átlagát és a szórását írhatja le.Más PDF-ek összetettebbek és árnyaltabbak.A részvényárfolyamok hozama általában lognormális eloszlást követ, nem pedig normál, ami azt jelzi, hogy a lefelé mutató veszteségek gyakoribbak, mint a nagyon nagy nyereségek, ahhoz képest, amit a normál eloszlás előre jelez.