Durata Macaulay vs. Durata modificata: qual è la differenza?

Durata Macaulay vs.Durata modificata: una panoramica

La duration di Macaulay e la duration modificata sono utilizzate principalmente per calcolare la durata delle obbligazioni.La durata di Macaulay calcola il tempo medio ponderato prima che un obbligazionista riceva i flussi di cassa dell'obbligazione.Al contrario, la duration modificata misura la sensibilità al prezzo di un'obbligazione quando si verifica una variazione del rendimento alla scadenza.

Da asporto chiave

  • Esistono diversi modi per avvicinarsi al concetto di duration o alla sensibilità al prezzo di un'attività a reddito fisso alle variazioni dei tassi di interesse.
  • La duration di Macaulay è la durata media ponderata fino alla scadenza dei flussi di cassa di un'obbligazione ed è spesso utilizzata dai gestori di portafoglio che utilizzano una strategia di immunizzazione.
  • La duration modificata di un'obbligazione è una versione rettificata della duration di Macaulay e viene utilizzata per calcolare le variazioni della durata e del prezzo di un'obbligazione per ciascuna variazione percentuale del rendimento alla scadenza.

La durata di Macaulay

La durata di Macaulay è calcolata moltiplicando il periodo di tempo per il pagamento periodico della cedola e dividendo il valore risultante per 1 più il rendimento periodico elevato alla scadenza.Successivamente, il valore viene calcolato per ciascun periodo e sommato.Quindi, il valore risultante viene aggiunto al numero totale di periodi moltiplicato per il valore nominale, diviso per 1, più il rendimento periodico elevato al numero totale di periodi.Quindi il valore viene diviso per il prezzo corrente dell'obbligazione.

MacaulayDurata = ( t = 1 n t C ( 1 + y ) t + n M ( 1 + y ) n ) Prezzo obbligazionario corrente dove: C = cedola periodica y = rendimento periodico M = il valore di scadenza dell'obbligazione n = durata dei periodi di legame begin{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{Prezzo corrente dell'obbligazione}} &textbf{dove:} &C=text{pagamento periodico della cedola} &y=text{rendimento periodico} &M=text{l'obbligazione valore di scadenza} &n=text{durata dell'obbligazione in periodi} end{allineato} MacaulayDurata=Prezzo obbligazionario corrente(t=1n(1+anno)tt∗C+(1+anno)nn∗M)dove:C=cedola periodicay=rendimento periodicoM=il valore di scadenza dell'obbligazionen=durata dei periodi di legame

Il prezzo di un'obbligazione viene calcolato moltiplicando il flusso di cassa per 1, meno 1, diviso per 1, più il rendimento a scadenza, elevato al numero di periodi diviso per il rendimento richiesto.Il valore risultante viene sommato al valore nominale, o valore di scadenza, dell'obbligazione diviso per 1, più il rendimento a scadenza elevato al numero totale di periodi.

Ad esempio, si consideri un'obbligazione triennale con un valore di scadenza di $ 1.000 e una cedola del 6% pagata semestralmente.L'obbligazione paga la cedola due volte l'anno e paga il capitale sul pagamento finale.Ciò premesso, nei prossimi tre anni sono attesi i seguenti flussi di cassa:

Periodo 1 : $ 30 Periodo2 : $ 30 Periodo3 : $ 30 Periodo4 : $ 30 Periodo5 : $ 30 Periodo6 : $ 1 , 030 begin{aligned} &text{Periodo 1}: $30 &text{Periodo 2}: $30 &text{Periodo 3}: $30 &text{Periodo 4}: $30 &text{Periodo 5}: $30 &text{Periodo 6}: $ 1.030 end{allineato} Periodo 1: $ 30Periodo2: $ 30Periodo3: $ 30Periodo4: $ 30Periodo5: $ 30Periodo6: $ 1.030

Conoscendo i periodi ei flussi di cassa, per ciascun periodo deve essere calcolato un fattore di sconto.Questo è calcolato come 1 ÷ (1 + r)n, dove r è il tasso di interesse e n è il numero del periodo in questione.Il tasso di interesse, r, composto semestralmente è 6% ÷ 2 = 3%.Pertanto, i fattori di sconto sarebbero:

Fattore di sconto periodo1 : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0,9709 Fattore Sconto Periodo2 : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0,9426 Period3DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Periodo5 Fattore di Sconto : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Fattore Sconto Periodo6 : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 begin{aligned} &text{Fattore di sconto del periodo 1}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0.9709 &text{Fattore di sconto del periodo 2}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0.9426 &text{Periodo 3 Fattore di sconto}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Fattore di sconto periodo 4}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Fattore di sconto periodo 5}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0.8626 &text{Fattore di sconto periodo 6}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0.8375 end{aligned} Fattore di sconto periodo1:1÷(1+.03)1=0,9709Fattore Sconto Periodo2:1÷(1+.03)2=0,9426Period3DiscountFactor:1÷(1+.03)3=0,9151Period4DiscountFactor:1÷(1+.03)4=0,8885Periodo5 Fattore di Sconto:1÷(1+.03)5=0,8626Fattore Sconto Periodo6:1÷(1+.03)6=0,8375

Quindi, moltiplica il flusso di cassa del periodo per il numero del periodo e per il corrispondente fattore di sconto per trovare il valore attuale del flusso di cassa:

Periodo 1 : 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29.13 Periodo2 : 2 × $ 30 × 0,9426 = $ 56.56 Periodo3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82.36 Periodo4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106.62 Periodo5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129.39 Periodo6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175.65 Periodo = 1 6 = $ 5 , 579.71 = numeratore begin{aligned} &text{Periodo 1}: 1 volte $30 volte 0.9709 = $29.13 &text{Periodo 2}: 2 volte $30 volte 0.9426 = $56.56 &text{Periodo 3}: 3 volte $30 volte 0.9151 = $82.36 &text{Periodo 4 }: 4 volte $ 30 volte 0,8885 = $ 106,62 &text{Periodo 5}: 5 volte $ 30 volte 0,8626 = $ 129,39 &text{Periodo 6}: 6 volte $ 1.030 volte 0,8375 = $ 5.175,65 &sum_{testo{ Periodo } = 1} ^ {6 } = $ 5.579,71 = testo{numeratore} fine{allineato} Periodo 1:1×$30×0,9709=$29,13Periodo2:2×30$×0,9426=56,56$Periodo3:3×$30×0,9151=$82,36Periodo4:4×$30×0,8885=$106,62Periodo5:5×30$×0,8626=129,39$Periodo6:6×$1.030×0,8375=$5.175,65Periodo=16=$5.579,71=numeratore

CurrentBondPrice = Flussi di cenere in PVC = 1 6 CurrentBondPrice = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 CurrentBondPrice = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 CurrentBondPrice = $ 1 , 000 CurrentBondPrice = denominatore begin{aligned} &text{Prezzo attuale dell'obbligazione} = sum_{testo{ Flussi di cassa PV } = 1} ^ {6} &phantom{ text{Prezzo attuale dell'obbligazione} } = 30 div ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 div ( 1 + .03 ) ^ 2 &phantom{ text{Prezzo attuale dell'obbligazione} = } + cdots + 1030 div ( 1 + .03 ) ^ 6 &phantom{ text{Prezzo attuale dell'obbligazione} } = $ 1.000 &phantom{ text{Corrente Prezzo obbligazionario} } = text{denominator} end{aligned} CurrentBondPrice=Flussi di cenere in PVC=16CurrentBondPrice=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2CurrentBondPrice=+⋯+1030÷(1+.03)6CurrentBondPrice= $ 1.000CurrentBondPrice=denominatore

(Si noti che poiché il tasso cedolare e il tasso di interesse sono gli stessi, l'obbligazione verrà scambiata alla pari.)

MacaulayDurata = $ 5 , 579.71 ÷ $ 1 , 000 = 5.58 begin{aligned} &text{Macaulay Duration} = $5,579,71 div $1,000 = 5,58 end{aligned} MacaulayDurata=$5.579,71÷$1.000=5,58

Si noti che questo calcolo della durata è per 5,58 semestri, poiché l'obbligazione paga semestralmente.La duration annua è quindi 5,58/2 =2,79 anni, inferiore ai tre anni in cui matura il prestito.

La durata modificata

Durata modificata = MacauleyDurata ( 1 + Y T M n ) dove: Y T M = resa a maturità n = numero di periodi di cedola all'anno begin{aligned} &text{Durata modificata}=frac{text{Durata Macauley}}{left( 1 + frac{YTM}{n}right)} &textbf{dove:} &YTM=text{rendimento alla maturità} &n =text{numero di periodi di coupon all'anno} end{aligned} Durata modificata=(1+nYTM)MacauleyDuratadove:YTM=resa a maturitàn=numero di periodi di cedola all'anno

La durata modificata è una versione modificata della durata Macaulay, che tiene conto della variazione del rendimento rispetto alle scadenze.La formula per la duration modificata è il valore della duration Macaulay diviso per 1, più il rendimento a scadenza, diviso per il numero di periodi cedolari per anno.La duration modificata determina le variazioni della durata e del prezzo di un'obbligazione per ciascuna variazione percentuale del rendimento alla scadenza.

Ad esempio, diamo un'occhiata al nostro legame dall'esempio sopra, che è stato calcolato per avere una durata Macaulay di 5,58 anni.La durata modificata di questa obbligazione sarebbe:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71%

La formula per calcolare la variazione percentuale del prezzo dell'obbligazione è la variazione del rendimento moltiplicata per il valore negativo della duration modificata moltiplicata per 100%.Tale variazione percentuale del prestito obbligazionario risultante, per un aumento del tasso di interesse dall'8% al 9%, è calcolata in -2,71%.Pertanto, se i tassi di interesse aumentano dell'1% durante la notte, il prezzo dell'obbligazione dovrebbe scendere del 2,71%.

La duration modificata e gli swap sui tassi di interesse

La durata modificata potrebbe essere estesa per calcolare il numero di anni necessari a uno swap su tassi di interesse per rimborsare il prezzo pagato per lo swap.Un interest rate swap è lo scambio di un insieme di flussi di cassa con un altro e si basa sulle specifiche del tasso di interesse tra le parti.

La duration modificata è calcolata dividendo il valore in dollari di una variazione di un punto base di una gamba di swap su tassi di interesse, o serie di flussi di cassa, per il valore attuale della serie di flussi di cassa.Il valore viene quindi moltiplicato per 10.000.La duration modificata per ciascuna serie di flussi di cassa può essere calcolata anche dividendo il valore in dollari di una variazione di punti base della serie di flussi di cassa per il valore nozionale più il valore di mercato.La frazione viene quindi moltiplicata per 10.000.

La duration modificata di entrambe le gambe deve essere calcolata per calcolare la duration modificata dell'interest rate swap.La differenza tra le due durate modificate è la durata modificata dell'interest rate swap.La formula per la durata modificata dell'interest rate swap è la durata modificata della gamba ricevente meno la durata modificata della gamba pagante.

Ad esempio, supponiamo che la banca A e la banca B stipulino uno swap su tassi di interesse.La durata modificata della gamba ricevente di uno swap è calcolata in nove anni e la durata modificata della gamba pagante è calcolata in cinque anni.La durata modificata risultante dell'interest rate swap è di quattro anni (9 anni –5 anni).

Differenze chiave

Poiché la durata di Macaulay misura il tempo medio ponderato che un investitore deve detenere un'obbligazione fino a quando il valore attuale dei flussi di cassa dell'obbligazione non è uguale all'importo pagato per l'obbligazione, è spesso utilizzato dai gestori obbligazionari che cercano di gestire il rischio del portafoglio obbligazionario con strategie di immunizzazione.

Al contrario, la duration modificata identifica quanto cambia la durata per ogni variazione percentuale del rendimento misurando quanto una variazione dei tassi di interesse influisca sul prezzo di un'obbligazione.Pertanto, la duration modificata può fornire una misura del rischio per gli investitori obbligazionari approssimando di quanto il prezzo di un'obbligazione potrebbe diminuire con un aumento dei tassi di interesse.È importante notare che i prezzi delle obbligazioni ei tassi di interesse hanno una relazione inversa tra loro.

Qual è la differenza tra Macaulay e durata modificata?

La durata di Macaulay è la durata media ponderata fino alla scadenza dei flussi di cassa di un'obbligazione.

La duration modificata è la sensibilità del prezzo di un'obbligazione alle variazioni dei tassi di interesse, che prende la durata di Macaulay e la adegua al rendimento alla scadenza (YTM) dell'obbligazione.

La durata modificata è sempre inferiore alla durata di Macaulay?

Poiché la duration modificata divide la duration modificata per uno più il rendimento a scadenza modificato, sarà sempre inferiore alla duration di Macaulay, tranne nel raro caso in cui l'YTM modificato è uguale a zero, nel qual caso saranno entrambi gli stessi poiché il denominatore sarà 1 + 0% = 1.

Qual è la durata del dollaro?

La durata del dollaro misura la variazione in dollari del valore di un'obbligazione rispetto a una variazione del tasso di interesse di mercato, fornendo un semplice calcolo dell'importo in dollari con una variazione dell'1% dei tassi.