Funzione di densità di probabilità (PDF)

Che cos'è una funzione di densità di probabilità (PDF)?

La funzione di densità di probabilità (PDF) è un'espressione statistica che definisce una distribuzione di probabilità (la probabilità di un risultato) per una variabile casuale discreta (ad esempio, un'azione o un ETF) rispetto a una variabile casuale continua.La differenza tra una variabile casuale discreta è che puoi identificare un valore esatto della variabile.

La distribuzione normale è un esempio comune di PDF, che forma la nota forma della curva a campana.

In finanza, trader e investitori utilizzano i PDF per capire come vengono distribuiti i rendimenti dei prezzi al fine di valutare il loro rischio e il profilo di rendimento atteso.

Da asporto chiave

  • Le funzioni di densità di probabilità sono una misura statistica utilizzata per valutare il probabile risultato di un valore discreto (ad esempio, il prezzo di un'azione o ETF).
  • I PDF vengono tracciati su un grafico che in genere ricorda una curva a campana, con la probabilità dei risultati che si trova al di sotto della curva.
  • Una variabile discreta può essere misurata esattamente, mentre una variabile continua può avere valori infiniti.
  • I PDF possono essere utilizzati per valutare il potenziale rischio/rendimento di un particolare titolo o fondo in un portafoglio.
  • Viene spesso citata la distribuzione normale, che forma una curva a campana.

Comprensione delle funzioni di densità di probabilità (PDF)

I PDF vengono utilizzati in finanza per valutare il rischio di un determinato titolo, come un singolo titolo o ETF.

In genere sono rappresentati su un grafico, con una normale curva a campana che indica un rischio di mercato neutro e una campana alle due estremità che indica un rischio/rendimento maggiore o minore.Quando il PDF viene rappresentato graficamente, l'area sotto la curva indicherà l'intervallo in cui cadrà la variabile.L'area totale in questo intervallo del grafico è uguale alla probabilità che si verifichi una variabile casuale discreta.

Più precisamente, poiché la probabilità assoluta che una variabile casuale continua assunta un qualsiasi valore specifico è zero a causa dell'infinito insieme di possibili valori disponibili, il valore di un PDF può essere utilizzato per determinare la probabilità che una variabile casuale rientri in un intervallo specifico di valori.

Immagine di Julie Bang © Investopedia2020

Una distribuzione inclinata sul lato destro della curva suggerisce una maggiore ricompensa al rialzo, mentre una distribuzione inclinata a sinistra indica un maggiore rischio al ribasso per i trader.

Le distribuzioni di probabilità possono essere utilizzate anche per creare funzioni di distribuzione cumulativa (CDF), che sommano la probabilità di occorrenze in modo cumulativo e inizieranno sempre da zero e finiranno al 100%.

Gli investitori dovrebbero utilizzare i PDF come uno dei tanti strumenti per calcolare il rischio/rendimento complessivo in gioco nei loro portafogli.

Discreto vs.Funzioni di distribuzione continua di probabilità

I PDF possono descrivere dati discreti o continui.La differenza è che le variabili discrete possono assumere solo valori specifici, come numeri interi, sì contro no, ore del giorno e così via.Una variabile continua, al contrario, contiene tutti i valori lungo la curva, comprese frazioni molto piccole o decimali fino a un numero teoricamente infinito di posizioni.

Discreto vs.PDF continuo.

Immagine di Julie Bang © Investopedia2020

Calcolo di una funzione di distribuzione di probabilità

I PDF sono spesso caratterizzati da media, deviazione standard, curtosi e asimmetria.

  • Media: il valore medio aritmetico
  • Deviazione standard: la dispersione dei dati sulla media
  • Kurtosis: descrive la "grassezza" delle code del PDF
  • Skewness: si riferisce alle deviazioni nella simmetria del PDF

Il calcolo del PDF e la sua stampa grafica possono comportare calcoli complessi che utilizzano equazioni differenziali o calcolo integrale.In pratica, per calcolare una funzione di distribuzione di probabilità sono necessarie calcolatrici grafiche o pacchetti software statistici.

La distribuzione normale

A titolo di esempio, il calcolo per il PDF della distribuzione normale è il seguente:

Formula di distribuzione normale.

dove:

  • x= valore della variabile o dei dati in esame e f(x) la funzione di probabilità
  • μ = la media
  • σ = la deviazione standard

Una distribuzione normale ha sempre un'asimmetria = 0 e curtosi = 3,0.

Altre funzioni di distribuzione di probabilità

Sebbene la distribuzione normale sia spesso la più citata e nota, esistono molti altri PDF.

Distribuzione uniforme

La distribuzione più semplice e popolare è la distribuzione uniforme, in cui tutti i risultati hanno la stessa probabilità di verificarsi.Un dado a sei facce ha una distribuzione uniforme.Ogni risultato ha una probabilità di circa il 16,67% (1/6).

Immagine di Julie Bang © Investopedia2020

Distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale rappresenta i dati che possono assumere solo uno di due valori, come il lancio di una moneta (testa contro croce) o espressioni logiche che assumono la forma di sì/no, on/off, ecc.

Un istogramma di una distribuzione binomiale.CK Taylor

Distribuzione lognormale

La distribuzione lognormale è importante in finanza perché descrive meglio i rendimenti effettivi del prezzo delle attività rispetto alla distribuzione normale standard.Questo PDF ha un'asimmetria positiva (a destra) e una curtosi più elevata.

Distribuzione lognormale.

Immagine di Julie Bang © Investopedia2020

Distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è un PDF utilizzato per descrivere le variabili di conteggio o le probabilità che si verifichi un certo numero di occorrenze.Ad esempio, quante mele si trovano sui meli, quante api sono vive in un alveare nel tempo o in quanti giorni di negoziazione un portafoglio perderà il 5% o più.

Immagine di Julie Bang © Investopedia2020

Distribuzione beta

La distribuzione beta è un tipo generale di PDF che può assumere una varietà di forme e caratteristiche, come definito da due soli parametri: alfa e beta.Viene spesso utilizzato in finanza per stimare i tassi di recupero dell'insolvenza delle obbligazioni oi tassi di mortalità nelle assicurazioni.

Variazioni della distribuzione beta.

Esempio di una funzione di densità di probabilità

Come semplice esempio di distribuzione di probabilità, osserviamo il numero osservato quando si lanciano due dadi standard a sei facce.Ogni dado ha una probabilità 1/6 di tirare un qualsiasi numero, da uno a sei, ma la somma di due dadi formerà la distribuzione di probabilità illustrata nell'immagine sottostante.

Sette è il risultato più comune (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Due e dodici, invece, sono molto meno probabili (1+1 e 6+6).

Immagine di Sabrina Jiang © Investopedia2020

Cosa ci dice una funzione di densità di probabilità (PDF)?

Una funzione di densità di probabilità (PDF) descrive la probabilità di osservare alcuni risultati risultanti da un processo di generazione dei dati.Ad esempio, quanto è probabile che una moneta equa lanciata esca testa (50%). Oppure il ruolo di un dado per uscire 6 (1/6 = 16,7%). Un PDF può dirci quali valori hanno quindi maggiori probabilità di apparire rispetto ai risultati meno probabili.Questo cambierà a seconda della forma e delle caratteristiche del PDF.

Che cos'è il teorema del limite centrale (CLT) e come è correlato ai PDF?

Il teorema del limite centrale (CLT) afferma che la distribuzione di una variabile casuale in un campione inizierà ad avvicinarsi a una distribuzione normale man mano che la dimensione del campione aumenta, indipendentemente dalla vera forma della distribuzione.Quindi, sappiamo che lanciare una moneta è un processo binario, descritto dalla distribuzione binomiale (testa o croce). Tuttavia, se consideriamo diversi lanci di monete, le probabilità di ottenere una particolare combinazione di testa e croce iniziano a differire.Ad esempio, se dovessimo lanciare la moneta dieci volte, le probabilità di ottenere 5 di ciascuna sono molto probabili, ma ottenere dieci teste di fila è estremamente raro.Immagina 1.000 lanci di monete e la distribuzione si avvicina alla normale curva a campana.

Che cos'è un PDF rispetto a un CDF?

Una funzione di densità di probabilità (PDF) spiega quali valori possono apparire in un processo di generazione dei dati in un dato momento o per una determinata estrazione.

Una funzione di distribuzione cumulativa (CDF) descrive invece come queste probabilità marginali si sommano, raggiungendo alla fine il 100% (o 1,0) dei possibili risultati.Utilizzando un CDF possiamo vedere quanto è probabile che il risultato di una variabile sia inferiore o uguale a un valore previsto.

La figura seguente, ad esempio, mostra la CDF per una distribuzione normale.

CDF.

Immagine di Julie Bang © Investopedia2020

La linea di fondo

Le funzioni di distribuzione di probabilità (PDF) descrivono i valori attesi di variabili casuali estratte da un campione.La forma del PDF spiega quanto è probabile che si sia verificato un valore osservato.La distribuzione normale è un esempio comunemente usato che può essere descritto solo con la sua media e deviazione standard.Altri PDF sono più complessi e sfumati.I rendimenti del prezzo delle azioni tendono a seguire una distribuzione lognormale piuttosto che normale, indicando che le perdite al ribasso sono più frequenti dei guadagni molto ampi, rispetto a quanto prevederebbe la distribuzione normale.