マコーレーデュレーションと修正デュレーション: 違いは何ですか?

マコーレーデュレーション vs.変更された期間: 概要

マコーレーデュレーションと修正デュレーションは、主に債券のデュレーションを計算するために使用されます。マコーレーデュレーションは、債券保有者が債券のキャッシュフローを受け取るまでの加重平均時間を計算します。逆に、修正デュレーションは、満期までの利回りが変化した場合の債券の価格感度を測定します。

重要ポイント

  • デュレーションの概念、または金利の変化に対する債券資産の価格感応度にアプローチするには、いくつかの異なる方法があります。
  • マコーレーデュレーションは、債券からのキャッシュフローの満期までの加重平均期間であり、免疫戦略を使用するポートフォリオマネージャーによって頻繁に使用されます。
  • 債券の修正デュレーションは、マコーレー デュレーションの調整バージョンであり、満期までの利回りの各パーセンテージ変化に対する債券のデュレーションと価格の変化を計算するために使用されます。

マコーレーデュレーション

マコーレー デュレーションは、期間に定期的なクーポンの支払いを掛けて、その結果の値を 1 に満期までの定期的な利回りを加えた値で割ることによって計算されます。次に、各期間の値が計算され、合計されます。次に、結果の値は、総期間数に額面値を掛けて 1 で除算し、さらに総期間数に引き上げられた定期利回りに加算されます。次に、その値を現在の債券価格で割ります。

マコーレー期間 = ( t = 1 n t C ( 1 + y ) t + n M ( 1 + y ) n ) 現在の債券価格 どこ: C = 定期クーポン払い y = 定期利回り M = 債券の満期価値 n = 保釈期間 begin{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{現在の債券価格}} &textbf{where:} &C=text{定期利払い} &y=text{定期利回り} &M=text{債券の満期値} &n=text{期間中の債券の期間} end{aligned} マコーレー期間=現在の債券価格(t=1n(1+年)tt*C+(1+y)nn*M)どこ:C=定期クーポン払いy=定期利回りM=債券の満期価値n=保釈期間

債券の価格は、キャッシュ フローに 1 を掛け、マイナス 1 を 1 で割って、満期までの利回りを足して、必要な利回りで割った期間数にすることによって計算されます。結果の値は、債券の額面価格または満期額を 1 で割った値に加算され、満期までの利回りが期間の合計に加算されます。

たとえば、満期価値が $1,000 で、クーポン レートが 6% で半年ごとに支払われる 3 年債を考えてみます。債券は年に 2 回クーポンを支払い、最後の支払いで元本を支払います。これにより、今後 3 年間で次のキャッシュ フローが予想されます。

期間1 : $ 30 期間2 : $ 30 期間3 : $ 30 期間4 : $ 30 期間5 : $ 30 期間6 : $ 1 030 begin{aligned} &text{期間 1}: $30 &text{期間 2}: $30 &text{期間 3}: $30 &text{期間 4}: $30 &text{期間 5}: $30 &text{期間 6}: $1,030 end{aligned} 期間1:$30期間2:$30期間3:$30期間4:$30期間5:$30期間6:$1,030

期間とキャッシュ フローがわかっているので、期間ごとに割引係数を計算する必要があります。これは、1 ÷ (1 + r) として計算されます。nここで、r は金利、n は問題の期間番号です。半年複利の利率 r は 6% ÷ 2 = 3% です。したがって、割引率は次のようになります。

Period1DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0.9709 Period2DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0.9426 Period3DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0.9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0.8885 Period5DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0.8626 Period6DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0.8375 begin{aligned} &text{期間 1 割引係数}: 1 div (1 + .03 ) ^ 1 = 0.9709 &text{期間 2 割引係数}: 1 div (1 + .03 ) ^ 2 = 0.9426 &text{期間 3割引係数}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 3 = 0.9151 &text{期間 4 割引係数}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 4 = 0.8885 &text{期間 5 割引係数}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0.8626 &text{期間 6 割引係数}: 1 div (1 + .03 ) ^ 6 = 0.8375 end{aligned} Period1DiscountFactor:1÷(1+.03)1=0.9709Period2DiscountFactor:1÷(1+.03)2=0.9426Period3DiscountFactor:1÷(1+.03)3=0.9151Period4DiscountFactor:1÷(1+.03)4=0.8885Period5DiscountFactor:1÷(1+.03)5=0.8626Period6DiscountFactor:1÷(1+.03)6=0.8375

次に、期間のキャッシュ フローに期間番号とそれに対応する割引率を掛けて、キャッシュ フローの現在価値を求めます。

期間1 : 1 × $ 30 × 0.9709 = $ 29.13 期間2 : 2 × $ 30 × 0.9426 = $ 56.56 期間3 : 3 × $ 30 × 0.9151 = $ 82.36 期間4 : 4 × $ 30 × 0.8885 = $ 106.62 期間5 : 5 × $ 30 × 0.8626 = $ 129.39 期間6 : 6 × $ 1 030 × 0.8375 = $ 5 175.65 限目 = 1 6 = $ 5 579.71 = 分子 begin{aligned} &text{期間 1}: 1 倍 $30 倍 0.9709 = $29.13 &text{期間 2}: 2 倍 $30 倍 0.9426 = $56.56 &text{期間 3}: 3 倍 $30 倍 0.9151 = $82.36 &text{期間 4 }: 4 回 $30 回 0.8885 = $106.62 &text{期間 5}: 5 回 $30 回 0.8626 = $129.39 &text{期間 6}: 6 回 $1,030 回 0.8375 = $5,175.65 &sum_{text{ 期間 } = 1} ^ {6 } = $5,579.71 = テキスト{分子} end{整列} 期間1:1×$30×0.9709=$29.13期間2:2×$30×0.9426=$56.56期間3:3×$30×0.9151=$82.36期間4:4×$30×0.8885=$106.62期間5:5×$30×0.8626=$129.39期間6:6×$1,030×0.8375=$5,175.65限目=16=$5,579.71=分子

現在の債券価格 = PVCashFlow = 1 6 現在の債券価格 = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 現在の債券価格 = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 現在の債券価格 = $ 1 000 現在の債券価格 = 分母 begin{aligned} &text{現在の債券価格} = sum_{text{ PV キャッシュ フロー } = 1} ^ {6} &phantom{ text{現在の債券価格} } = 30 div (1 + .03 ) ^ 1 + 30 div ( 1 + .03 ) ^ 2 &phantom{ text{現在の債券価格} = } + cdots + 1030 div ( 1 + .03 ) ^ 6 &phantom{ text{現在の債券価格} } = $1,000 &phantom{ text{現在の債券価格債券価格} } = text{分母} end{aligned} 現在の債券価格=PVCashFlow=16現在の債券価格=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2現在の債券価格=+⋯+1030÷(1+.03)6現在の債券価格=$1,000現在の債券価格=分母

(クーポンレートと金利が同じなので、債券は額面で取引されることに注意してください。)

マコーレー期間 = $ 5 579.71 ÷ $ 1 000 = 5.58 begin{aligned} &text{Macaulay Duration} = $5,579.71 div $1,000 = 5.58 end{aligned} マコーレー期間=$5,579.71÷$1,000=5.58

債券は半年ごとに支払われるため、このデュレーションの計算は 5.58 半年であることに注意してください。したがって、年間デュレーションは 5.58/2 = 2.79 年であり、これは債券が満期となる 3 年よりも短くなります。

変更された期間

修正期間 = マコーリー期間 ( 1 + T M n ) どこ: T M = 収量成熟度 n = 年間クーポン期間の数 begin{aligned} &text{Modified Duration}=frac{text{Macauley Duration}}{left( 1 + frac{YTM}{n}right)} &textbf{where:} &YTM=text{満期までの利回り} &n =text{年間のクーポン期間の数} end{aligned} 修正期間=(1+nYTM)マコーリー期間どこ:YTM=収量成熟度n=年間クーポン期間の数

修正デュレーションはマコーレーデュレーションの調整バージョンであり、利回りから満期までの変化を考慮しています。修正デュレーションの計算式は、マコーレー デュレーションを 1 で割った値に満期までの利回りを加えた値を、1 年あたりのクーポン期間の数で割ったものです。修正されたデュレーションは、満期までの利回りの各パーセンテージの変化に対する債券のデュレーションと価格の変化を決定します。

たとえば、上記の例の債券を見てみましょう。マコーレーのデュレーションは 5.58 年と計算されています。この債券の修正デュレーションは次のようになります。

(2.79)/((1+0.06)/2) = 2.71%

債券価格の変化率を計算する式は、利回りの変化に修正デュレーションの負の値を掛けて 100% を掛けたものです。金利が 8% から 9% に上昇した場合の債券の変化率は、-2.71% と計算されます。したがって、金利が一晩で 1% 上昇した場合、債券の価格は 2.71% 下落すると予想されます。

修正デュレーションと金利スワップ

修正デュレーションを延長して、金利スワップがスワップに支払われた価格を返済するのにかかる年数を計算することができます。金利スワップは、一連のキャッシュ フローを別の一連のキャッシュ フローと交換することであり、当事者間の金利仕様に基づいています。

修正デュレーションは、金利スワップ レッグまたは一連のキャッシュ フローの 1 ベーシス ポイントの変化のドル価値を、一連のキャッシュ フローの現在価値で割ることによって計算されます。次に、値に 10,000 を掛けます。各一連のキャッシュ フローの修正デュレーションは、一連のキャッシュ フローのベーシス ポイント変化のドル価値を想定元本と市場価値で割ることによって計算することもできます。次に、分数に 10,000 を掛けます。

金利スワップの修正デュレーションを計算するには、両方のレグの修正デュレーションを計算する必要があります。2 つの修正デュレーションの差が、金利スワップの修正デュレーションです。金利スワップの修正デュレーションの計算式は、受取レッグの修正デュレーションから支払レッグの修正デュレーションを差し引いたものです。

たとえば、銀行 A と銀行 B が金利スワップを締結したとします。スワップの受取レッグの修正デュレーションは 9 年と計算され、支払レッグの修正デュレーションは 5 年と計算されます。その結果、金利スワップの修正デュレーションは 4 年 (9 年 - 5 年) になります。

主な違い

マコーレーデュレーションは、債券のキャッシュフローの現在価値が債券に支払われた金額と等しくなるまで、投資家が債券を保持しなければならない加重平均時間を測定するため、免疫戦略で債券ポートフォリオのリスクを管理しようとする債券マネージャーによってよく使用されます。

対照的に、修正デュレーションは、金利の変化が債券の価格にどの程度影響するかを測定しながら、利回りの変化率ごとにデュレーションがどれだけ変化するかを識別します。したがって、修正デュレーションは、金利の上昇に伴って債券の価格がどれだけ下落する可能性があるかを概算することにより、債券投資家にリスク指標を提供できます。債券価格と金利は互いに反比例の関係にあることに注意することが重要です。

マコーレーと修正デュレーションの違いは何ですか?

マコーレーデュレーションは、債券からのキャッシュフローの満期までの加重平均期間です。

修正デュレーションは、金利の変化に対する債券の価格感応度であり、マコーレー デュレーションを取り、それを債券の満期利回り (YTM) に合わせて調整します。

修正デュレーションは常にマコーレーデュレーションよりも短いですか?

修正デュレーションは、修正デュレーションを 1 プラス満期までの修正利回りで除算するため、マコーレー デュレーションよりも常に短くなります。例外として、修正 YTM がゼロに等しい場合を除きます。分母は 1 + 0% = 1 になります。

ドルデュレーションとは?

ドルデュレーションは、市場金利の変化に対する債券価値のドル変化を測定し、金利が 1% 変化した場合の単純なドル金額の計算を提供します。