Macaulay-duur versus aangepaste duur: wat is het verschil?

Macaulay-duur vs.Gewijzigde duur: een overzicht

De Macaulay duration en de modified duration worden voornamelijk gebruikt om de duration van obligaties te berekenen.De Macaulay-duration berekent de gewogen gemiddelde tijd voordat een obligatiehouder de kasstromen van de obligatie zou ontvangen.Omgekeerd meet de modified duration de prijsgevoeligheid van een obligatie wanneer het rendement tot de vervaldatum verandert.

Belangrijkste leerpunten

  • Er zijn een paar verschillende manieren om het concept van duration, of de prijsgevoeligheid van een vastrentend actief voor veranderingen in rentetarieven, te benaderen.
  • De Macaulay-duration is de gewogen gemiddelde looptijd van de kasstromen van een obligatie en wordt vaak gebruikt door portefeuillebeheerders die een vaccinatiestrategie gebruiken.
  • De gewijzigde duur van een obligatie is een aangepaste versie van de Macaulay-duur en wordt gebruikt om de veranderingen in de duur en prijs van een obligatie te berekenen voor elke procentuele verandering in het rendement tot de vervaldatum.

De Macaulay-duur

De Macaulay-duur wordt berekend door de tijdsperiode te vermenigvuldigen met de periodieke couponbetaling en de resulterende waarde te delen door 1 plus het periodieke rendement dat wordt verhoogd tot de looptijd.Vervolgens wordt de waarde voor elke periode berekend en bij elkaar opgeteld.Vervolgens wordt de resulterende waarde opgeteld bij het totale aantal perioden vermenigvuldigd met de nominale waarde, gedeeld door 1, plus de periodieke opbrengst verhoogd tot het totale aantal perioden.Vervolgens wordt de waarde gedeeld door de huidige obligatiekoers.

MacaulayDuur = ( t = 1 n t C ( 1 + ja ) t + n M ( 1 + ja ) n ) Huidige obligatiekoers waar: C = periodieke couponbetaling ja = periodieke opbrengst M = de looptijdwaarde van de obligatie n = duurvanbindinginperioden begin{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{Huidige obligatiekoers}} &textbf{where:} &C=text{periodieke couponbetaling} &y=text{periodieke opbrengst} &M=text{de obligaties looptijdwaarde} &n=tekst{looptijd obligatie in perioden} einde{uitgelijnd} MacaulayDuur=Huidige obligatiekoers(t=1n(1+j)tt∗C+(1+j)nn∗M)waar:C=periodieke couponbetalingy=periodieke opbrengstM=de looptijdwaarde van de obligatien=duurvanbindinginperioden

De prijs van een obligatie wordt berekend door de cashflow te vermenigvuldigen met 1, min 1, gedeeld door 1, plus het rendement tot de vervaldag, verhoogd tot het aantal perioden gedeeld door het vereiste rendement.De resulterende waarde wordt toegevoegd aan de nominale waarde, of vervalwaarde, van de obligatie gedeeld door 1, plus het rendement tot einde looptijd verhoogd tot het totale aantal perioden.

Overweeg bijvoorbeeld een driejarige obligatie met een looptijd van $ 1.000 en een couponrente van 6% die halfjaarlijks wordt betaald.De obligatie betaalt de coupon tweemaal per jaar en betaalt de hoofdsom bij de laatste betaling.Op basis hiervan worden de volgende kasstromen verwacht voor de komende drie jaar:

Periode 1 : $ 30 Periode2 : $ 30 Periode3 : $ 30 Periode4 : $ 30 Periode5 : $ 30 Periode6 : $ 1 , 030 begin{aligned} &text{Periode 1}: $30 &text{Periode 2}: $30 &text{Periode 3}: $30 &text{Periode 4}: $30 &text{Periode 5}: $30 &text{Periode 6}: $ 1.030 einde{uitgelijnd} Periode 1:$30Periode2:$30Periode3:$30Periode4:$30Periode5:$30Periode6:$1.030

Met de perioden en de kasstromen bekend moet voor elke periode een disconteringsfactor worden berekend.Dit wordt berekend als 1 ÷ (1 + r)n, waarbij r het rentepercentage is en n het betreffende periodenummer.De rente, r, halfjaarlijks samengesteld, is 6% ÷ 2 = 3%.Daarom zouden de kortingsfactoren zijn:

Periode1Kortingsfactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0.9709 Periode2Kortingsfactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0.9426 Periode3Kortingsfactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Periode4Kortingsfactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Periode5Kortingsfactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Periode6Kortingsfactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 begin{aligned} &text{Periode 1 Kortingsfactor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0.9709 &text{Periode 2 Kortingsfactor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0.9426 &text{Periode 3 Kortingsfactor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Periode 4 Kortingsfactor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Periode 5 Kortingsfactor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0.8626 &text{Periode 6 Kortingsfactor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0.8375 end{aligned} Periode1Kortingsfactor:1÷(1+.03)1= 0,9709Periode2Kortingsfactor:1÷(1+.03)2= 0,9426Periode3Kortingsfactor:1÷(1+.03)3= 0,9151Periode4Kortingsfactor:1÷(1+.03)4= 0,8885Periode5Kortingsfactor:1÷(1+.03)5= 0,8626Periode6Kortingsfactor:1÷(1+.03)6= 0,8375

Vermenigvuldig vervolgens de cashflow van de periode met het periodenummer en de bijbehorende kortingsfactor om de huidige waarde van de cashflow te vinden:

Periode 1 : 1 × $ 30 × 0.9709 = $ 29.13 Periode2 : 2 × $ 30 × 0.9426 = $ 56.56 Periode3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82.36 Periode4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106,62 Periode5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129.39 Periode6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175,65 Periode = 1 6 = $ 5 , 579,71 = teller begin{aligned} &text{Periode 1}: 1 keer $30 keer 0,9709 = $29,13 &text{Periode 2}: 2 keer $30 keer 0,9426 = $56,56 &text{Periode 3}: 3 keer $30 keer 0,9151 = $82,36 &text{Periode 4 }: 4 keer $30 keer 0,8885 = $106,62 &text{Periode 5}: 5 keer $30 keer 0,8626 = $129,39 &text{Periode 6}: 6 keer $1.030 keer 0,8375 = $5.175,65 &sum_{text{ Periode } = 1} ^ {6 } = $5.579.71 = tekst{teller} end{uitgelijnd} Periode 1:1×$30×0.9709=$29.13Periode2:2×$30×0.9426=$56.56Periode3:3×$30×0.9151=$82.36Periode4:4×$30×0,8885=$106,62Periode5:5×$30×0,8626=$129,39Periode6:6×$1.030×0.8375=$5.175.65Periode=16=$5.579.71=teller

HuidigeObligatieprijs = PVCashFlows = 1 6 HuidigeObligatieprijs = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 HuidigeObligatieprijs = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 HuidigeObligatieprijs = $ 1 , 000 HuidigeObligatieprijs = noemer begin{aligned} &text{Huidige Obligatieprijs} = sum_{text{ PV Cash Flows } = 1} ^ {6} &phantom{ text{Huidige Obligatieprijs} } = 30 div ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 div ( 1 + .03 ) ^ 2 &phantom{ text{Huidige Obligatieprijs} = } + cdots + 1030 div ( 1 + .03 ) ^ 6 &phantom{ text{Huidige Obligatieprijs} } = $1.000 &phantom{ text{Huidige Obligatieprijs} } = tekst{noemer} einde{uitgelijnd} HuidigeObligatieprijs=PVCashFlows=16HuidigeObligatieprijs=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2HuidigeObligatieprijs=+⋯+1030÷(1+.03)6HuidigeObligatieprijs=$1.000HuidigeObligatieprijs=noemer

(Merk op dat aangezien de couponrente en de rentevoet hetzelfde zijn, de obligatie tegen pari wordt verhandeld.)

MacaulayDuur = $ 5 , 579,71 ÷ $ 1 , 000 = 5.58 begin{aligned} &text{Macaulay Duration} = $5.579,71 div $1.000 = 5.58 end{aligned} MacaulayDuur=$5.579.71÷$1.000=5.58

Merk op dat deze durationberekening voor 5,58 halfjaar is, aangezien de obligatie halfjaarlijks uitbetaalt.De jaarlijkse duration is dus 5,58/2 = 2,79 jaar, wat minder is dan de drie jaar waarin de obligatie afloopt.

De aangepaste duur

Gewijzigde Duur = MacauleyDuur ( 1 + Y T M n ) waar: Y T M = opbrengsttomaturiteit n = aantalcouponperiodesper jaar begin{aligned} &text{Modified Duration}=frac{text{Macauley Duration}}{left( 1 + frac{YTM}{n}right)} &textbf{where:} &YTM=text{opbrengst tot volwassenheid} &n =tekst{aantal couponperiodes per jaar} einde{uitgelijnd} Gewijzigde Duur=(1+nYTM)MacauleyDuurwaar:YTM=opbrengsttomaturiteitn=aantalcouponperiodesper jaar

De gewijzigde duur is een aangepaste versie van de Macaulay-duur, die rekening houdt met de verandering van het rendement naar de looptijden.De formule voor de gewijzigde looptijd is de waarde van de looptijd van Macaulay gedeeld door 1, plus het rendement tot einde looptijd, gedeeld door het aantal couponperiodes per jaar.De gewijzigde duur bepaalt de veranderingen in de duur en prijs van een obligatie voor elke procentuele verandering in het rendement tot de vervaldatum.

Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar onze obligatie uit het bovenstaande voorbeeld, waarvan werd berekend dat deze een Macaulay-duur van 5,58 jaar had.De gewijzigde looptijd voor deze obligatie zou zijn:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71%

De formule om de procentuele verandering in de prijs van de obligatie te berekenen, is de verandering in het rendement vermenigvuldigd met de negatieve waarde van de gewijzigde looptijd vermenigvuldigd met 100%.Deze resulterende procentuele verandering in de obligatie, voor een rentestijging van 8% naar 9%, wordt berekend op -2,71%.Daarom, als de rente van de ene op de andere dag met 1% stijgt, zal de prijs van de obligatie naar verwachting met 2,71% dalen.

De gewijzigde looptijd- en renteswaps

De gewijzigde looptijd zou kunnen worden verlengd om het aantal jaren te berekenen dat een renteswap nodig zou hebben om de voor de swap betaalde prijs terug te betalen.Een renteswap is het ruilen van de ene set kasstromen voor een andere en is gebaseerd op rentespecificaties tussen partijen.

De gewijzigde looptijd wordt berekend door de dollarwaarde van een wijziging van één basispunt van een renteswapgedeelte of een reeks kasstromen te delen door de contante waarde van de reeks kasstromen.De waarde wordt vervolgens vermenigvuldigd met 10.000.De gewijzigde looptijd voor elke reeks kasstromen kan ook worden berekend door de dollarwaarde van een basispuntwijziging van de reeks kasstromen te delen door de nominale waarde plus de marktwaarde.De breuk wordt vervolgens vermenigvuldigd met 10.000.

De gewijzigde looptijd van beide poten moet worden berekend om de gewijzigde looptijd van de renteswap te berekenen.Het verschil tussen de twee gewijzigde looptijden is de gewijzigde looptijd van de renteswap.De formule voor de gewijzigde looptijd van de renteswap is de gewijzigde looptijd van het ontvangende deel minus de gewijzigde duur van het betalende deel.

Stel bijvoorbeeld dat bank A en bank B een renteswap aangaan.De gewijzigde duur van het ontvangende deel van een swap wordt berekend op negen jaar en de gewijzigde duur van het betalende deel wordt berekend op vijf jaar.De resulterende gewijzigde looptijd van de renteswap is vier jaar (9 jaar – 5 jaar).

Belangrijkste verschillen

Aangezien de Macaulay-duur de gewogen gemiddelde tijd meet die een belegger een obligatie moet aanhouden totdat de contante waarde van de kasstromen van de obligatie gelijk is aan het bedrag dat voor de obligatie is betaald, wordt dit vaak gebruikt door obligatiebeheerders die het risico van obligatieportefeuilles willen beheren met immunisatiestrategieën.

De gewijzigde duur daarentegen identificeert hoeveel de duur verandert voor elke procentuele verandering in het rendement, terwijl wordt gemeten hoeveel een verandering in de rentetarieven de prijs van een obligatie beïnvloedt.De gewijzigde looptijd kan dus een risicomaatstaf zijn voor obligatiebeleggers door te schatten hoeveel de prijs van een obligatie zou kunnen dalen bij een stijging van de rentetarieven.Het is belangrijk op te merken dat obligatiekoersen en rentetarieven een omgekeerde relatie met elkaar hebben.

Wat is het verschil tussen Macaulay en aangepaste duur?

Macaulay duration is de gewogen gemiddelde looptijd van de kasstromen uit een obligatie.

Modified duration is de prijsgevoeligheid van een obligatie voor veranderingen in de rentetarieven, die de Macaulay-duratie neemt en deze aanpast aan het rendement tot de vervaldatum van de obligatie (YTM).

Is de aangepaste duur altijd korter dan de Macaulay-duur?

Omdat de gewijzigde looptijd de gewijzigde looptijd door één plus het gewijzigde rendement tot de vervaldag deelt, zal deze altijd kleiner zijn dan de Macaulay-duur - behalve in het zeldzame geval dat de gewijzigde YTM gelijk is aan nul, in welk geval ze beide hetzelfde zullen zijn sinds de noemer is 1 + 0% = 1.

Wat is dollarduur?

Dollar duration meet de dollarverandering in de waarde van een obligatie ten opzichte van een verandering in de marktrente, wat een eenvoudige berekening van het dollarbedrag oplevert bij een verandering van 1% in de tarieven.