Czas trwania Macaulay vs. zmodyfikowany czas trwania: jaka jest różnica?

Czas trwania Macaulay vs.Zmodyfikowany czas trwania: przegląd

Duracja Macaulaya i duracja zmodyfikowana są wykorzystywane głównie do obliczania duracji obligacji.Duration Macaulay oblicza średni ważony czas, zanim posiadacz obligacji otrzyma przepływy pieniężne z obligacji.I odwrotnie, zmodyfikowany czas trwania mierzy wrażliwość cenową obligacji, gdy następuje zmiana rentowności do terminu zapadalności.

Kluczowe dania na wynos

  • Istnieje kilka różnych sposobów podejścia do pojęcia czasu trwania lub wrażliwości cenowej aktywów o stałym dochodzie na zmiany stóp procentowych.
  • Duration Macaulay to średni ważony okres do zapadalności przepływów pieniężnych z obligacji i jest często używany przez zarządzających portfelami, którzy stosują strategię immunizacji.
  • Zmodyfikowana duracja obligacji jest skorygowaną wersją duracji Macaulaya i służy do obliczania zmian w czasie trwania i cenie obligacji dla każdej procentowej zmiany rentowności do terminu zapadalności.

Czas trwania Macaulay

Czas trwania Macaulay jest obliczany poprzez pomnożenie okresu przez okresową wypłatę kuponu i podzielenie otrzymanej wartości przez 1 plus okresowy dochód podniesiony do terminu zapadalności.Następnie wartość jest obliczana dla każdego okresu i sumowana.Następnie otrzymana wartość jest dodawana do łącznej liczby okresów pomnożonej przez wartość nominalną, podzieloną przez 1, plus okresowy zysk podniesiony do łącznej liczby okresów.Następnie wartość dzieli się przez aktualną cenę obligacji.

MacaulayCzas trwania = ( t = 1 n t C ( 1 + tak ) t + n M ( 1 + tak ) n ) Aktualnacenaobligacji gdzie: C = okresowa płatność kuponu tak = okresokresu M = wartość dojrzałości obligacji n = czas trwania okresów wiązania begin{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{Aktualna cena obligacji}} &textbf{gdzie:} &C=text{okresowa wypłata kuponu} &y=text{okresowa rentowność} &M=text{okresowa wypłata wartość zapadalności} &n=text{okres trwania obligacji w okresach} end{wyrównany} MacaulayCzas trwania=Aktualnacenaobligacji(t=1n(1+y)tt∗C+(1+y)nn∗M)gdzie:C=okresowa płatność kuponuy=okresokresuM=wartość dojrzałości obligacjin=czas trwania okresów wiązania

Cena obligacji jest obliczana poprzez pomnożenie przepływu pieniężnego przez 1, minus 1, podzielone przez 1, plus rentowność do wykupu, podniesiona do liczby okresów podzielona przez wymaganą rentowność.Otrzymana wartość jest dodawana do wartości nominalnej lub wartości zapadalności obligacji podzielonej przez 1, powiększonej o rentowność do wykupu podwyższoną do łącznej liczby okresów.

Rozważmy na przykład trzyletnią obligację o wartości zapadalności 1000 USD i stopie kuponu 6%, wypłacanej co pół roku.Obligacja wypłaca kupon dwa razy w roku i spłaca kapitał przy ostatniej płatności.Biorąc to pod uwagę, oczekuje się następujących przepływów pieniężnych w ciągu najbliższych trzech lat:

Okres 1 : $ 30 Okres2 : $ 30 Okres3 : $ 30 Okres4 : $ 30 Okres5 : $ 30 Okres6 : $ 1 , 030 begin{wyrównany} &text{Okres 1}: 30 $ &text{Okres 2}: 30 $ &text{Okres 3}: 30 $ &text{Okres 4}: 30 $ &text{Okres 5}: 30 $ &text{Okres 6}: 1030 $ koniec{wyrównany} Okres 1:$30Okres2:$30Okres3:$30Okres4:$30Okres5:$30Okres6:1030$

Mając znane okresy i przepływy pieniężne, należy obliczyć współczynnik dyskontowy dla każdego okresu.Jest to obliczane jako 1 ÷ (1 + r)n, gdzie r to stopa procentowa, a n to numer danego okresu.Stopa procentowa r, kapitalizowana co pół roku wynosi 6% ÷ 2 = 3%.W związku z tym czynniki dyskontowe byłyby następujące:

Okres1Czynnik rabatu : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0,9709 Period2DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0,9426 Okres3Rabat Czynnik : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Czynnik Okresu4Zniżki : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Okres5Czynnik rabatu : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Okres6Czynnik rabatu : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 begin{wyrównany} &tekst{Współczynnik dyskontowy okresu 1}: 1 dz ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0,9709 &text{Współczynnik dyskontowy okresu 2}: 1 dz ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0,9426 &tekst{Okres 3 Współczynnik dyskontowania}: 1 dz ( 1 + .03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Współczynnik dyskontowy dla okresu 4}: 1 dz ( 1 + .03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Współczynnik dyskontowy dla okresu 5}: 1 dz ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0,8626 &text{Współczynnik dyskontowy dla okresu 6}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0,8375 end{wyrównane} Okres1Czynnik rabatu:1÷(1+0,03)1=0,9709Period2DiscountFactor:1÷(1+0,03)2=0,9426Okres3Rabat Czynnik:1÷(1+0,03)3=0,9151Czynnik Okresu4Zniżki:1÷(1+0,03)4=0,8885Okres5Czynnik rabatu:1÷(1+0,03)5=0,8626Okres6Czynnik rabatu:1÷(1+0,03)6=0,8375

Następnie pomnóż przepływy pieniężne okresu przez numer okresu i odpowiadający mu współczynnik dyskontowy, aby znaleźć bieżącą wartość przepływu pieniężnego:

Okres 1 : 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29.13 Okres2 : 2 × $ 30 × 0,9426 = $ 56,56 Okres3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82,36 Okres4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106,62 Okres5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129,39 Okres6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175,65 Okres = 1 6 = $ 5 , 579,71 = licznik ułamka begin{wyrównany} &text{Okres 1}: 1 razy 30 USD razy 0,9709 = 29,13 USD &text{Okres 2}: 2 razy 30 USD razy 0,9426 = 56,56 USD &text{Okres 3}: 3 razy 30 USD razy 0,9151 = 82,36 USD &text{Okres 4 }: 4 razy 30 $ razy 0,8885 = 106,62 $ &text{Okres 5}: 5 razy 30 $ razy 0,8626 = 129,39 $ &text{Okres 6}: 6 razy 1030 $ razy 0,8375 = 5 175,65 $ &sum_{tekst{ Okres } = 1} ^ {6 } = 5 579,71 $ = tekst{licznik} koniec{wyrównany} Okres 1: 1 × 30 USD × 0,9709 = 29,13 USDOkres2:2 × 30 USD × 0,9426 = 56,56 USDOkres3:3 × 30 USD × 0,9151 = 82,36 USDOkres4:4 × 30 USD × 0,8885 = 106,62 USDOkres5:5 × 30 USD × 0,8626 = 129,39 USDOkres6:6×1030 USD×0,8375=5175,65 USDOkres=16=5579,71$=licznik ułamka

AktualnaCenaObligacji = Przepływy z PCW = 1 6 AktualnaCenaObligacji = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 AktualnaCenaObligacji = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 AktualnaCenaObligacji = $ 1 , 000 AktualnaCenaObligacji = mianownik begin{aligned} &text{Bieżąca cena obligacji} = sum_{text{ Przepływy pieniężne z PV } = 1} ^ {6} &phantom{ text{Bieżąca cena obligacji} } = 30 dz ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 dz ( 1 + .03 ) ^ 2 &phantom{ text{bieżąca cena obligacji} = } + cdots + 1030 div ( 1 + .03 ) ^ 6 &phantom{ text{bieżąca cena obligacji} } = 1000 $ &phantom{ text{bieżąca Cena obligacji} } = tekst{mianownik} end{wyrównany} AktualnaCenaObligacji=Przepływy z PCW=16AktualnaCenaObligacji=30÷(1+0,03)1+30÷(1+0,03)2AktualnaCenaObligacji=+⋯+1030÷(1+0,03)6AktualnaCenaObligacji=1000 złAktualnaCenaObligacji=mianownik

(Zauważ, że ponieważ stopa kuponu i stopa procentowa są takie same, obligacja będzie handlowana po wartości nominalnej)

MacaulayCzas trwania = $ 5 , 579,71 ÷ $ 1 , 000 = 5.58 begin{aligned} &text{Macaulay Duration} = $5,579,71 div $1000 = 5,58 end{aligned} MacaulayCzas trwania=5579,71 zł÷1000 zł=5,58

Należy pamiętać, że to wyliczenie czasu trwania obejmuje 5,58 pół roku, ponieważ obligacja wypłacana jest co pół roku.Roczny czas trwania wynosi zatem 5,58/2 = 2,79 lat, czyli mniej niż trzy lata, w których obligacja dojrzewa.

Zmodyfikowany czas trwania

Zmodyfikowany czas trwania = MacauleyCzas trwania ( 1 + Tak T M n ) gdzie: Tak T M = plondojrzałość n = liczba okresów kuponów w roku begin{aligned} &text{Zmodyfikowany czas trwania}=frac{text{Macauley Duration}}{left( 1 + frac{YTM}{n}right)} &textbf{gdzie:} &YTM=text{wydajność do zapadalności} &n =text{liczba okresów kuponowych w roku} koniec{aligned} Zmodyfikowany czas trwania=(1+nYTM)MacauleyCzas trwaniagdzie:YTM=plondojrzałośćn=liczba okresów kuponów w roku

Zmodyfikowany czas trwania to dostosowana wersja czasu trwania Macaulaya, który uwzględnia zmianę rentowności na terminy zapadalności.Wzór na zmodyfikowaną durację to wartość duracji Macaulay podzielona przez 1, plus rentowność do wykupu, podzielona przez liczbę okresów kuponowych w roku.Zmodyfikowany czas trwania określa zmiany czasu trwania i ceny obligacji dla każdej procentowej zmiany rentowności do terminu zapadalności.

Na przykład spójrzmy na naszą więź z powyższego przykładu, która została obliczona na czas trwania Macaulay na 5,58 roku.Zmodyfikowany czas trwania tej obligacji byłby następujący:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71%

Wzór na procentową zmianę ceny obligacji to zmiana stopy zwrotu pomnożona przez ujemną wartość zmodyfikowanego duracji pomnożoną przez 100%.Obliczono, że wynikająca z tego zmiana procentowa obligacji, przy wzroście stopy procentowej z 8% do 9%, wynosi -2,71%.Dlatego też, jeśli stopy procentowe wzrosną o 1% w ciągu nocy, oczekuje się, że cena obligacji spadnie o 2,71%..

Zmodyfikowany czas trwania i swapy stóp procentowych

Zmodyfikowany czas trwania można by wydłużyć w celu obliczenia liczby lat potrzebnej na spłatę ceny zapłaconej za swap stopy procentowej.Swap stopy procentowej to wymiana jednego zestawu przepływów pieniężnych na inny i opiera się na specyfikacjach stóp procentowych między stronami.

Zmodyfikowany czas trwania jest obliczany poprzez podzielenie wartości dolara zmiany jednego punktu bazowego nogi swapu stóp procentowych lub serii przepływów pieniężnych przez bieżącą wartość serii przepływów pieniężnych.Wartość jest następnie mnożona przez 10 000.Zmodyfikowany czas trwania dla każdej serii przepływów pieniężnych można również obliczyć, dzieląc wartość dolara zmiany w punkcie bazowym serii przepływów pieniężnych przez wartość referencyjną powiększoną o wartość rynkową.Ułamek jest następnie mnożony przez 10 000.

Zmodyfikowany czas trwania obu nóg należy obliczyć, aby obliczyć zmodyfikowany czas trwania swapu stóp procentowych.Różnica między tymi dwoma zmodyfikowanymi okresami to zmodyfikowany czas trwania swapu stóp procentowych.Wzór na zmodyfikowany czas trwania swapu stóp procentowych to zmodyfikowany czas trwania nogi otrzymującej minus zmodyfikowany czas trwania nogi płacącej.

Załóżmy na przykład, że bank A i bank B zawierają swap na stopy procentowe.Zmodyfikowany czas trwania nogi otrzymującej swap jest obliczany jako dziewięć lat, a zmodyfikowany czas trwania nogi płatniczej jest obliczany jako pięć lat.Wynikający z tego zmodyfikowany czas trwania swapu stóp procentowych wynosi cztery lata (9 lat – 5 lat).

Kluczowe różnice

Ponieważ czas trwania Macaulay mierzy średni ważony czas, przez jaki inwestor musi utrzymać obligację, dopóki bieżąca wartość przepływów pieniężnych z obligacji nie będzie równa kwocie zapłaconej za obligację, jest on często używany przez zarządzających obligacjami, którzy chcą zarządzać ryzykiem portfela obligacji za pomocą strategii immunizacji.

W przeciwieństwie do tego, zmodyfikowany czas trwania określa, jak bardzo zmienia się czas trwania dla każdej procentowej zmiany rentowności, jednocześnie mierząc, jak bardzo zmiana stóp procentowych wpływa na cenę obligacji.Tak więc zmodyfikowany czas trwania może stanowić miarę ryzyka dla inwestorów w obligacje poprzez przybliżenie, jak bardzo cena obligacji może spaść wraz ze wzrostem stóp procentowych.Należy zauważyć, że ceny obligacji i stopy procentowe są ze sobą odwrotnie proporcjonalne.

Jaka jest różnica między Macaulay a zmodyfikowanym czasem trwania?

Duration Macaulay to średni ważony okres do zapadalności przepływów pieniężnych z obligacji.

Zmodyfikowany czas trwania to wrażliwość cenowa obligacji na zmiany stóp procentowych, która przyjmuje czas trwania Macaulaya i dostosowuje go do rentowności obligacji do terminu zapadalności (YTM).

Czy zmodyfikowany czas trwania jest zawsze krótszy niż czas trwania Macaulay?

Ponieważ zmodyfikowany czas trwania dzieli zmodyfikowany czas trwania przez jeden plus zmodyfikowany zysk do terminu zapadalności, zawsze będzie on krótszy niż czas trwania Macaulaya - z wyjątkiem rzadkich przypadków, gdy zmodyfikowany YTM jest równy zero, w którym to przypadku oba będą takie same, ponieważ mianownik będzie wynosił 1 + 0% = 1.

Co to jest czas trwania dolara?

Duration w dolarach mierzy zmianę wartości obligacji w dolarach do zmiany rynkowej stopy procentowej, zapewniając proste obliczenie kwoty w dolarach przy 1% zmianie stóp.