Duração Macaulay x Duração Modificada: Qual é a Diferença?

Duração Macaulay vs.Duração modificada: uma visão geral

A duração Macaulay e a duração modificada são usadas principalmente para calcular a duração dos títulos.A duração Macaulay calcula o tempo médio ponderado antes de um detentor de títulos receber os fluxos de caixa do título.Por outro lado, a duração modificada mede a sensibilidade ao preço de um título quando há uma mudança no rendimento até o vencimento.

Principais conclusões

  • Existem algumas maneiras diferentes de abordar o conceito de duração, ou a sensibilidade do preço de um ativo de renda fixa a mudanças nas taxas de juros.
  • A duração de Macaulay é o prazo médio ponderado até o vencimento dos fluxos de caixa de um título, e é frequentemente utilizada por gestores de carteiras que utilizam uma estratégia de imunização.
  • A duração modificada de um título é uma versão ajustada da duração Macaulay e é usada para calcular as mudanças na duração e no preço de um título para cada mudança percentual no rendimento até o vencimento.

A Duração Macaulay

A duração Macaulay é calculada multiplicando o período de tempo pelo pagamento periódico do cupom e dividindo o valor resultante por 1 mais o rendimento periódico aumentado até o vencimento.Em seguida, o valor é calculado para cada período e somado.Em seguida, o valor resultante é somado ao número total de períodos multiplicado pelo valor nominal, dividido por 1, mais o rendimento periódico elevado ao número total de períodos.Em seguida, o valor é dividido pelo preço atual do título.

Macaulay Duração = ( t = 1 n t C ( 1 + y ) t + n M ( 1 + y ) n ) Preço do título atual Onde: C = pagamento periódico de cupons y = rendimento periódico M = valor de maturidade do título n = duração dos períodos de ligação begin{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{Preço atual do título}} &textbf{onde:} &C=text{pagamento de cupom periódico} &y=text{rendimento periódico} &M=text{o título valor de vencimento} &n=text{duração do título em períodos} end{alinhado} Macaulay Duração=Preço do título atual(t=1n(1+ano)tt∗C+(1+ano)nn∗M)Onde:C=pagamento periódico de cuponsy=rendimento periódicoM=valor de maturidade do títulon=duração dos períodos de ligação

O preço de um título é calculado multiplicando o fluxo de caixa por 1, menos 1, dividido por 1, mais o rendimento até o vencimento, elevado ao número de períodos dividido pelo rendimento exigido.O valor resultante é adicionado ao valor nominal, ou valor de vencimento, do título dividido por 1, mais o rendimento até o vencimento elevado ao número total de períodos.

Por exemplo, considere um título de três anos com valor de vencimento de $ 1.000 e uma taxa de cupom de 6% paga semestralmente.O título paga o cupom duas vezes por ano e paga o principal no pagamento final.Diante disso, são esperados os seguintes fluxos de caixa para os próximos três anos:

Período 1 : $ 30 Período2 : $ 30 Período3 : $ 30 Período 4 : $ 30 Período 5 : $ 30 Período 6 : $ 1 , 030 begin{aligned} &text{Período 1}: $30 &text{Período 2}: $30 &text{Período 3}: $30 &text{Período 4}: $30 &text{Período 5}: $30 &text{Período 6}: $ 1.030 end{alinhado} Período 1: $ 30Período2: $ 30Período3: $ 30Período 4: $ 30Período 5: $ 30Período 6: $ 1.030

Com os períodos e os fluxos de caixa conhecidos, deve-se calcular um fator de desconto para cada período.Isso é calculado como 1 ÷ (1 + r)n, onde r é a taxa de juros e n é o número do período em questão.A taxa de juros, r, composta semestralmente é de 6% ÷ 2 = 3%.Portanto, os fatores de desconto seriam:

Period1DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0,9709 Period2DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0,9426 Period3DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Period5DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Period6DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 begin{aligned} &text{Period 1 Discount Factor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0.9709 &text{Period 2 Discount Factor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0.9426 &text{Period 3 Fator de desconto}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Fator de desconto do período 4}: 1 div ( 1 + 0,03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Fator de desconto do período 5}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0,8626 &text{Período 6 Fator de desconto}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0,8375 end{aligned} Period1DiscountFactor:1÷(1+.03)1=0,9709Period2DiscountFactor:1÷(1+.03)2=0,9426Period3DiscountFactor:1÷(1+.03)3=0,9151Period4DiscountFactor:1÷(1+.03)4=0,8885Period5DiscountFactor:1÷(1+.03)5=0,8626Period6DiscountFactor:1÷(1+.03)6=0,8375

Em seguida, multiplique o fluxo de caixa do período pelo número do período e pelo fator de desconto correspondente para encontrar o valor presente do fluxo de caixa:

Período 1 : 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29.13 Período2 : 2 × $ 30 × 0,9426 = $ 56,56 Período3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82,36 Período 4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106,62 Período 5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129,39 Período 6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175,65 Período = 1 6 = $ 5 , 579,71 = numerador begin{aligned} &text{Período 1}: 1 vezes $30 vezes 0,9709 = $29,13 &text{Período 2}: 2 vezes $30 vezes 0,9426 = $56,56 &text{Período 3}: 3 vezes $30 vezes 0,9151 = $82,36 &text{Período 4 }: 4 vezes $ 30 vezes 0,8885 = $ 106,62 &text{Período 5}: 5 vezes $ 30 vezes 0,8626 = $ 129,39 &text{Período 6}: 6 vezes $ 1.030 vezes 0,8375 = $ 5.175,65 &sum_{text{ Período } = 1} ^ {6 } = $ 5.579,71 = texto{numerador} end{alinhado} Período 1: 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29,13Período2:2×$30×0,9426=$56,56Período3:3×$30×0,9151=$82,36Período 4:4×$30×0,8885=$106,62Período 5:5×$30×0,8626=$129,39Período 6:6×$1.030×0,8375=$5.175,65Período=16=$5.579,71=numerador

CurrentBond Price = Fluxos de cinzas de PVC = 1 6 CurrentBond Price = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 CurrentBond Price = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 CurrentBond Price = $ 1 , 000 CurrentBond Price = denominador begin{aligned} &text{Current Bond Price} = sum_{text{ PV Cash Flows } = 1} ^ {6} &phantom{ text{Current Bond Price} } = 30 div ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 div ( 1 + .03 ) ^ 2 &phantom{ text{Preço do título atual} = } + cdots + 1030 div ( 1 + .03 ) ^ 6 &phantom{ text{Preço do título atual} } = $ 1.000 &phantom{ text{Current Bond Price} Preço do título} } = text{denominador} end{aligned} CurrentBond Price=Fluxos de cinzas de PVC=16CurrentBond Price=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2CurrentBond Price=+⋯+1030÷(1+,03)6CurrentBond Price=$1.000CurrentBond Price=denominador

(Observe que, como a taxa de cupom e a taxa de juros são as mesmas, o título será negociado ao par.)

Macaulay Duração = $ 5 , 579,71 ÷ $ 1 , 000 = 5,58 begin{aligned} &text{Macaulay Duration} = $5.579,71 div $1,000 = 5,58 end{aligned} Macaulay Duração=$5.579,71÷$1.000=5,58

Observe que esse cálculo de duração é para 5,58 semestres, pois o título é pago semestralmente.A duração anual é, portanto, de 5,58/2 = 2,79 anos, inferior aos três anos em que o título vence.

A duração modificada

ModifiedDuration = Macauley Duração ( 1 + S T M n ) Onde: S T M = rendimento até o vencimento n = número de cupons por ano begin{aligned} &text{Modified Duration}=frac{text{Macauley Duration}}{left( 1 + frac{YTM}{n}right)} &textbf{onde:} &YTM=text{rendimento até o vencimento} &n =text{número de períodos de cupom por ano} end{aligned} ModifiedDuration=(1+nYTM)Macauley DuraçãoOnde:YTM=rendimento até o vencimenton=número de cupons por ano

A duração modificada é uma versão ajustada da duração de Macaulay, que leva em conta a mudança do rendimento para os vencimentos.A fórmula para a duração modificada é o valor da duração Macaulay dividido por 1, mais o rendimento até o vencimento, dividido pelo número de períodos de cupom por ano.A duração modificada determina as mudanças na duração e no preço de um título para cada variação percentual no rendimento até o vencimento.

Por exemplo, vamos olhar para o nosso título do exemplo acima, que foi calculado para ter uma duração Macaulay de 5,58 anos.A duração modificada para este título seria:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71%

A fórmula para calcular a variação percentual no preço do título é a variação do rendimento multiplicado pelo valor negativo da duração modificada multiplicado por 100%.Esta variação percentual resultante no título, para um aumento da taxa de juros de 8% para 9%, é calculada em -2,71%.Portanto, se as taxas de juros subirem 1% durante a noite, o preço do título deverá cair 2,71%.

A Duração Modificada e Swaps de Taxa de Juros

A duração modificada poderia ser estendida para calcular o número de anos que um swap de taxa de juros levaria para reembolsar o preço pago pelo swap.Um swap de taxa de juros é a troca de um conjunto de fluxos de caixa por outro e é baseado em especificações de taxas de juros entre as partes.

A duração modificada é calculada dividindo-se o valor em dólar de uma mudança de um ponto base de uma ponta de swap de taxa de juros, ou série de fluxos de caixa, pelo valor presente da série de fluxos de caixa.O valor é então multiplicado por 10.000.A duração modificada para cada série de fluxos de caixa também pode ser calculada dividindo-se o valor em dólar de uma mudança de ponto base da série de fluxos de caixa pelo valor nocional mais o valor de mercado.A fração é então multiplicada por 10.000.

A duração modificada de ambas as pernas deve ser calculada para calcular a duração modificada do swap de taxa de juros.A diferença entre as duas durações modificadas é a duração modificada do swap de taxa de juros.A fórmula para a duração modificada do swap de taxa de juros é a duração modificada da perna receptora menos a duração modificada da perna pagadora.

Por exemplo, suponha que o banco A e o banco B celebrem um swap de taxa de juros.A duração modificada da perna receptora de um swap é calculada em nove anos e a duração modificada da perna pagadora é calculada em cinco anos.A duração modificada resultante do swap de taxa de juros é de quatro anos (9 anos – 5 anos).

Principais diferenças

Como a duração de Macaulay mede o tempo médio ponderado que um investidor deve manter um título até que o valor presente dos fluxos de caixa do título seja igual ao valor pago pelo título, é frequentemente usado por gestores de títulos que procuram gerenciar o risco do portfólio de títulos com estratégias de imunização.

Em contraste, a duração modificada identifica o quanto a duração muda para cada mudança percentual no rendimento enquanto mede o quanto uma mudança nas taxas de juros afeta o preço de um título.Assim, a duração modificada pode fornecer uma medida de risco para investidores de títulos, aproximando o quanto o preço de um título pode cair com um aumento nas taxas de juros.É importante notar que os preços dos títulos e as taxas de juros têm uma relação inversa entre si.

Qual é a diferença entre Macaulay e duração modificada?

A duração de Macaulay é o prazo médio ponderado até o vencimento dos fluxos de caixa de um título.

A duração modificada é a sensibilidade do preço de um título a mudanças nas taxas de juros, que toma a duração Macaulay e a ajusta para o rendimento até o vencimento (YTM) do título.

A duração modificada é sempre menor que a duração de Macaulay?

Como a duração modificada divide a duração modificada por um mais o rendimento até o vencimento modificado, ela sempre será menor que a duração Macaulay - exceto no caso raro se o YTM modificado for igual a zero, caso em que ambos serão iguais, pois o denominador será 1 + 0% = 1.

O que é a duração do dólar?

A duração do dólar mede a mudança em dólar no valor de um título para uma mudança na taxa de juros de mercado, fornecendo um cálculo direto do valor em dólar, dada uma mudança de 1% nas taxas.