Função de densidade de probabilidade (PDF)

O que é uma função de densidade de probabilidade (PDF)?

A função de densidade de probabilidade (PDF) é uma expressão estatística que define uma distribuição de probabilidade (a probabilidade de um resultado) para uma variável aleatória discreta (por exemplo, uma ação ou ETF) em oposição a uma variável aleatória contínua.A diferença entre uma variável aleatória discreta é que você pode identificar um valor exato da variável.

A distribuição normal é um exemplo comum de PDF, formando a conhecida forma de curva em sino.

Em finanças, traders e investidores usam PDFs para entender como os retornos de preços são distribuídos para avaliar seu perfil de risco e retorno esperado.

Principais conclusões

  • As funções de densidade de probabilidade são uma medida estatística usada para avaliar o resultado provável de um valor discreto (por exemplo, o preço de uma ação ou ETF).
  • Os PDFs são plotados em um gráfico que normalmente se assemelha a uma curva de sino, com a probabilidade dos resultados abaixo da curva.
  • Uma variável discreta pode ser medida exatamente, enquanto uma variável contínua pode ter valores infinitos.
  • Os PDFs podem ser usados ​​para avaliar o risco/recompensa potencial de um determinado título ou fundo em um portfólio.
  • A distribuição normal é frequentemente citada, formando uma curva em forma de sino.

Entendendo as Funções de Densidade de Probabilidade (PDFs)

Os PDFs são usados ​​em finanças para avaliar o risco de um determinado título, como uma ação individual ou ETF.

Eles são normalmente representados em um gráfico, com uma curva normal indicando risco de mercado neutro e um sino em cada extremidade indicando maior ou menor risco/recompensa.Quando o PDF for retratado graficamente, a área sob a curva indicará o intervalo em que a variável cairá.A área total neste intervalo do gráfico é igual à probabilidade de ocorrência de uma variável aleatória discreta.

Mais precisamente, como a probabilidade absoluta de uma variável aleatória contínua assumir qualquer valor específico é zero devido ao conjunto infinito de valores possíveis disponíveis, o valor de um PDF pode ser usado para determinar a probabilidade de uma variável aleatória cair dentro de um intervalo específico de valores.

Imagem de Julie Bang © Investopedia2020

Uma distribuição enviesada para o lado direito da curva sugere maior recompensa ascendente, enquanto uma distribuição enviesada para a esquerda indica maior risco negativo para os traders.

As distribuições de probabilidade também podem ser usadas para criar funções de distribuição cumulativa (CDFs), que somam a probabilidade de ocorrências cumulativamente e sempre começam em zero e terminam em 100%.

Os investidores devem usar PDFs como uma das muitas ferramentas para calcular o risco/recompensa geral em jogo em seus portfólios.

Discreto vs.Funções de Distribuição de Probabilidade Contínua

Os PDFs podem descrever dados discretos ou contínuos.A diferença é que as variáveis ​​discretas só podem assumir valores específicos, como inteiros, sim vs. não, horas do dia e assim por diante.Uma variável contínua, em contraste, contém todos os valores ao longo da curva, incluindo frações muito pequenas ou decimais até um número teoricamente infinito de casas.

Discreto vs.PDF contínuo.

Imagem de Julie Bang © Investopedia2020

Calculando uma Função de Distribuição de Probabilidade

Os PDFs são frequentemente caracterizados por sua média, desvio padrão, curtose e assimetria.

  • Média: o valor médio aritmético
  • Desvio padrão: a dispersão dos dados sobre a média
  • Curtose: descreve a "gordura" das caudas do PDF
  • Skewness: refere-se a desvios na simetria do PDF

Calcular o PDF e plotá-lo graficamente pode envolver cálculos complexos que usam equações diferenciais ou cálculo integral.Na prática, calculadoras gráficas ou pacotes de software estatístico são necessários para calcular uma função de distribuição de probabilidade.

A distribuição normal

Como exemplo, o cálculo para o PDF da distribuição normal é o seguinte:

Fórmula de Distribuição Normal.

Onde:

  • x= valor da variável ou dados que estão sendo examinados e f(x) a função de probabilidade
  • µ = a média
  • σ = o desvio padrão

Uma distribuição normal sempre tem uma assimetria = 0 e curtose = 3,0.

Outras funções de distribuição de probabilidade

Embora a distribuição normal seja frequentemente a mais citada e conhecida, existem vários outros PDFs.

Distribuição uniforme

A distribuição mais simples e popular é a distribuição uniforme, na qual todos os resultados têm a mesma chance de ocorrer.Um dado de seis lados tem uma distribuição uniforme.Cada resultado tem uma probabilidade de cerca de 16,67% (1/6).

Imagem de Julie Bang © Investopedia2020

Distribuição binomial

A distribuição binomial representa dados que podem assumir apenas um de dois valores, como o lançamento de uma moeda (cara x coroa) ou expressões lógicas que assumem a forma de sim/não, liga/desliga, etc.

Um histograma de uma distribuição binomial.C.K. Taylor

Distribuição Lognormal

A distribuição lognormal é importante em finanças porque descreve melhor os retornos reais dos preços dos ativos do que a distribuição normal padrão.Este PDF tem assimetria positiva (direita) e curtose mais alta.

Distribuição Lognormal.

Imagem de Julie Bang © Investopedia2020

Distribuição de veneno

A distribuição de Poisson é um PDF que é usado para descrever variáveis ​​de contagem, ou as probabilidades de que certo número de ocorrências aconteça.Por exemplo, quantas maçãs são encontradas em macieiras, quantas abelhas estão vivas em uma colméia ao longo do tempo ou em quantos dias de negociação um portfólio perderá 5% ou mais.

Imagem de Julie Bang © Investopedia2020

Distribuição Beta

A distribuição beta é um tipo geral de PDF que pode assumir uma variedade de formas e características, conforme definido por apenas dois parâmetros: alfa e beta.É frequentemente usado em finanças para estimar taxas de recuperação de inadimplência de títulos ou taxas de mortalidade em seguros.

Variações de Distribuição Beta.

Exemplo de uma função de densidade de probabilidade

Como um exemplo simples de distribuição de probabilidade, vejamos o número observado ao rolar dois dados padrão de seis faces.Cada dado tem uma probabilidade de 1/6 de rolar qualquer número único, de um a seis, mas a soma de dois dados formará a distribuição de probabilidade representada na imagem abaixo.

Sete é o resultado mais comum (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Dois e doze, por outro lado, são muito menos prováveis ​​(1+1 e 6+6).

Imagem de Sabrina Jiang © Investopedia2020

O que uma função de densidade de probabilidade (PDF) nos diz?

Uma função de densidade de probabilidade (PDF) descreve a probabilidade de observar algum resultado resultante de um processo de geração de dados.Por exemplo, qual é a probabilidade de uma moeda honesta sair cara (50%). Ou o papel de um dado para sair 6 (1/6 = 16,7%). Um PDF pode nos dizer quais valores são, portanto, mais prováveis ​​de aparecer versus os resultados menos prováveis.Isso mudará dependendo da forma e das características do PDF.

O que é o Teorema do Limite Central (CLT) e como ele se relaciona com PDFs?

O teorema do limite central (CLT) afirma que a distribuição de uma variável aleatória em uma amostra começará a se aproximar de uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra se tornar maior, independentemente da verdadeira forma da distribuição.Assim, sabemos que o lançamento de uma moeda é um processo binário, descrito pela distribuição binomial (cara ou coroa). No entanto, se considerarmos vários lançamentos de moedas, as chances de obter qualquer combinação específica de cara e coroa começam a diferir.Por exemplo, se tivéssemos que jogar a moeda dez vezes, as chances de obter 5 de cada são mais prováveis, mas obter dez caras seguidas é extremamente raro.Imagine 1.000 lançamentos de moedas e a distribuição se aproxima da curva normal.

O que é um PDF versus um CDF?

Uma função de densidade de probabilidade (PDF) explica quais valores provavelmente aparecerão em um processo de geração de dados em um determinado momento ou para qualquer sorteio.

Em vez disso, uma função de distribuição cumulativa (CDF) descreve como essas probabilidades marginais se somam, chegando a 100% (ou 1,0) dos resultados possíveis.Usando um CDF, podemos ver quão provável é que o resultado de uma variável seja menor ou igual a algum valor previsto.

A figura abaixo, por exemplo, mostra o CDF para uma distribuição normal.

CDF.

Imagem de Julie Bang © Investopedia2020

A linha inferior

As funções de distribuição de probabilidade (PDFs) descrevem os valores esperados de variáveis ​​aleatórias extraídas de uma amostra.A forma do PDF explica a probabilidade de um valor observado ter ocorrido.A distribuição normal é um exemplo comumente usado que pode ser descrito apenas por sua média e desvio padrão.Outros PDFs são mais complexos e sutis.Os retornos dos preços das ações tendem a seguir uma distribuição lognormal em vez de uma normal, indicando que as perdas de baixa são mais frequentes do que os ganhos muito grandes, em relação ao que a distribuição normal poderia prever.