Продолжительность Маколея против модифицированной продолжительности: в чем разница?

Маколей Дюри против.Измененная продолжительность: обзор

Дюрация Маколея и модифицированная дюрация в основном используются для расчета дюрации облигаций.Дюрация Маколея рассчитывает средневзвешенное время до того, как держатель облигации получит денежные потоки по облигации.И наоборот, модифицированная дюрация измеряет чувствительность цены облигации при изменении доходности к погашению.

Ключевые выводы

  • Есть несколько различных подходов к понятию дюрации или чувствительности цены актива с фиксированным доходом к изменениям процентных ставок.
  • Дюрация Маколея представляет собой средневзвешенный срок до погашения денежных потоков по облигации и часто используется портфельными менеджерами, применяющими стратегию иммунизации.
  • Модифицированная дюрация облигации представляет собой скорректированную версию дюрации Маколея и используется для расчета изменений дюрации и цены облигации для каждого процентного изменения доходности к погашению.

Продолжительность Маколея

Дюрация Маколея рассчитывается путем умножения периода времени на периодическую выплату купона и деления полученного значения на 1 плюс периодическая доходность, увеличенная до момента погашения.Затем значение рассчитывается для каждого периода и суммируется.Затем полученное значение прибавляется к общему количеству периодов, умноженному на номинальную стоимость, деленному на 1, плюс периодическая доходность, увеличенная до общего количества периодов.Затем значение делится на текущую цену облигации.

МаколейПродолжительность знак равно ( т знак равно 1 н т * С ( 1 + у ) т + н * М ( 1 + у ) н ) Текущая цена облигации куда: С знак равно периодическая купонная оплата у знак равно периодическая доходность М знак равно срок погашения облигации н знак равно продолжительность облигации в периоды begin{align} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ left(1+yright)^n } right)}{text{Текущая цена облигации}} &textbf{где:} &C=text{периодическая выплата купона} &y=text{периодическая доходность} &M=text{выплата облигации значение погашения} &n=text{длительность облигации в периодах} end{выровнено} МаколейПродолжительностьзнак равноТекущая цена облигации(т=1н(1+г)тt∗C+(1+г)нп*М)куда:С=периодическая купонная оплатау =периодическая доходностьМ=срок погашения облигациип =продолжительность облигации в периоды

Цена облигации рассчитывается путем умножения денежного потока на 1 минус 1, деленное на 1, плюс доходность к погашению, увеличенная до количества периодов, деленного на требуемую доходность.Полученная стоимость прибавляется к номинальной стоимости или стоимости погашения облигации, деленной на 1, плюс доходность к погашению, увеличенная до общего количества периодов.

Например, рассмотрим трехлетнюю облигацию со сроком погашения 1000 долларов и купонной ставкой 6%, выплачиваемой раз в полгода.По облигации выплачивается купон дважды в год, а основная сумма выплачивается при окончательном платеже.Учитывая это, в ближайшие три года ожидаются следующие денежные потоки:

Период1 : $ 30 Период2 : $ 30 Период3 : $ 30 Период4 : $ 30 Период5 : $ 30 Период6 : $ 1 , 030 begin{align} &text{Период 1}: $30 &text{Период 2}: $30 &text{Период 3}: $30 &text{Период 4}: $30 &text{Период 5}: $30 &text{Период 6}: 1030 долларов США конец {выровнено} Период1: 30 долларовПериод2: 30 долларовПериод3: 30 долларовПериод4: 30 долларовПериод5: 30 долларовПериод6: 1030 долларов США

Зная периоды и денежные потоки, необходимо рассчитать коэффициент дисконтирования для каждого периода.Это рассчитывается как 1 ÷ (1 + r)н, где r — процентная ставка, а n — номер рассматриваемого периода.Процентная ставка r, начисляемая раз в полгода, составляет 6% ÷ 2 = 3%.Таким образом, коэффициенты дисконтирования будут такими:

Период1Коэффициент скидки : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 знак равно 0,9709 Period2DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 знак равно 0,9426 Period3DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 знак равно 0,9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 знак равно 0,8885 Период5Коэффициент скидки : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 знак равно 0,8626 Период6Коэффициент скидки : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 знак равно 0,8375 begin{align} &text{Коэффициент скидки за период 1}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0,9709 &text{Коэффициент скидки за период 2}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0,9426 &text{Период 3 Коэффициент скидки}: 1 дел. ( 1 + .03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Коэффициент скидки за период 4}: 1 дел. ( 1 + .03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Коэффициент скидки за период 5}: 1 дел. ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0,8626 &text{Коэффициент скидки за период 6}: 1 деление ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0,8375 end{выровнено} Период1Коэффициент скидки:1÷(1+.03)1=0,9709Period2DiscountFactor:1÷(1+.03)2=0,9426Period3DiscountFactor:1÷(1+.03)3=0,9151Period4DiscountFactor:1÷(1+.03)4=0,8885Период5Коэффициент скидки:1÷(1+.03)5=0,8626Период6Коэффициент скидки:1÷(1+.03)6=0,8375

Затем умножьте денежный поток за период на номер периода и соответствующий коэффициент дисконтирования, чтобы найти текущую стоимость денежного потока:

Период1 : 1 × $ 30 × 0,9709 знак равно $ 29.13 Период2 : 2 × $ 30 × 0,9426 знак равно $ 56,56 Период3 : 3 × $ 30 × 0,9151 знак равно $ 82,36 Период4 : 4 × $ 30 × 0,8885 знак равно $ 106,62 Период5 : 5 × $ 30 × 0,8626 знак равно $ 129,39 Период6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 знак равно $ 5 , 175,65 Период знак равно 1 6 знак равно $ 5 , 579,71 знак равно числитель begin{align} &text{Период 1}: 1 x 30 долл. США, умноженный на 0,9709 = 29,13 доллара &text{Период 2}: 2 x 30 долл. США, умноженный на 0,9426 = 56,56 доллара }: 4 раза по 30 долларов США умножить на 0,8885 = 106,62 долларов США &text{Период 5}: 5 раз по 30 долларов США умножить на 0,8626 = 129,39 долларов США &text{Период 6}: 6 раз по 1030 долларов США умножить на 0,8375 = 5175,65 долларов США &sum_{text{Период} = 1} ^ {6 } = 5 579,71 долл. США = текст {числитель} конец {выровнено} Период1:1×30$×0,9709=29,13$Период2:2×30$×0,9426=56,56$Период3:3×30$×0,9151=82,36$Период4:4×30$×0,8885=106,62$Период5:5×30$×0,8626=129,39$Период6:6×1030$×0,8375=5175,65$Период=16= 5 579,71 долларов США =числитель

ТекущаяЦенаОблигации знак равно PVCashFlows знак равно 1 6 ТекущаяЦенаОблигации знак равно 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 ТекущаяЦенаОблигации знак равно + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 ТекущаяЦенаОблигации знак равно $ 1 , 000 ТекущаяЦенаОблигации знак равно знаменатель begin{align} &text{Текущая цена облигации} = sum_{text{ Денежные потоки PV } = 1} ^ {6} &phantom{ text{Текущая цена облигации} } = 30 дел (1 + 0,03) ^ 1 + 30 делений ( 1 + .03 ) ^ 2 &phantom{ text{Текущая цена облигации} = } + cdots + 1030 дел ( 1 + .03 ) ^ 6 &phantom{ text{Текущая цена облигации} } = $1,000 &phantom{ text{Текущая Цена облигации} } = text{знаменатель} конец{выровнено} ТекущаяЦенаОблигациизнак равноPVCashFlows=16ТекущаяЦенаОблигации=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2ТекущаяЦенаОблигации=+⋯+1030÷(1+.03)6ТекущаяЦенаОблигации= 1000 долларовТекущаяЦенаОблигациизнак равнознаменатель

(Обратите внимание, что, поскольку купонная ставка и процентная ставка одинаковы, облигация будет торговаться по номинальной стоимости.)

МаколейПродолжительность знак равно $ 5 , 579,71 ÷ $ 1 , 000 знак равно 5,58 begin{align} &text{Macaulay Duration} = 5 579,71 долл. МаколейПродолжительность= 5 579,71 долл. США ÷ 1 000 долл. США = 5,58

Обратите внимание, что этот расчет длительности рассчитан на 5,58 полугодия, поскольку облигация выплачивается раз в полгода.Таким образом, годовая дюрация составляет 5,58/2 = 2,79 года, что меньше трех лет, в течение которых облигация подлежит погашению.

Измененная продолжительность

ModifiedDuration знак равно МаколиПродолжительность ( 1 + Д Т М н ) куда: Д Т М знак равно доходностьдо погашения н знак равно количество купонных периодов в год begin{align} &text{Modified Duration}=frac{text{Macauley Duration}}{left( 1 + frac{YTM}{n}right)} &textbf{where:} &YTM=text{доходность к погашению} &n =text{количество купонных периодов в году} end{выровнено} ModifiedDurationзнак равно(1+нYTM)МаколиПродолжительностькуда:Доходность =доходностьдо погашенияп =количество купонных периодов в год

Модифицированная дюрация представляет собой скорректированную версию дюрации Маколея, учитывающую изменение доходности к срокам погашения.Формула модифицированной дюрации представляет собой значение дюрации Маколея, деленное на 1, плюс доходность к погашению, деленное на количество купонных периодов в году.Модифицированная дюрация определяет изменения дюрации и цены облигации для каждого процентного изменения доходности к погашению.

Например, давайте посмотрим на нашу облигацию из приведенного выше примера, для которой была рассчитана дюрация Маколея, равная 5,58 года.Модифицированная дюрация для этой облигации будет:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71%

Формула для расчета процентного изменения цены облигации представляет собой изменение доходности, умноженное на отрицательное значение модифицированной дюрации, умноженное на 100%.Это результирующее процентное изменение облигации при увеличении процентной ставки с 8% до 9% составляет -2,71%.Таким образом, если процентные ставки вырастут на 1% в одночасье, ожидается, что цена облигации упадет на 2,71%.

Модифицированные дюрационные и процентные свопы

Модифицированная продолжительность может быть увеличена для расчета количества лет, которое потребуется процентному свопу для погашения цены, уплаченной за своп.Процентный своп представляет собой обмен одного набора денежных потоков на другой и основан на спецификациях процентных ставок между сторонами.

Модифицированная дюрация рассчитывается путем деления долларовой стоимости изменения на один базисный пункт части процентного свопа или серии денежных потоков на текущую стоимость серии денежных потоков.Затем значение умножается на 10 000.Модифицированную продолжительность для каждой серии денежных потоков также можно рассчитать путем деления долларовой стоимости изменения базисного пункта серии денежных потоков на условную стоимость плюс рыночную стоимость.Затем дробь умножается на 10 000.

Для расчета модифицированной продолжительности процентного свопа необходимо рассчитать модифицированную продолжительность обеих сторон.Разница между двумя модифицированными дюрациями представляет собой модифицированную дюрацию процентного свопа.Формула модифицированной дюрации процентного свопа представляет собой модифицированную дюрацию получающей части минус модифицированную дюрацию платящей части.

Например, предположим, что банк А и банк Б заключают процентный своп.Модифицированная продолжительность принимающей части свопа рассчитывается как девять лет, а модифицированная продолжительность платежной части рассчитывается как пять лет.В результате модифицированная дюрация процентного свопа составляет четыре года (9 лет – 5 лет).

Ключевые отличия

Поскольку дюрация Маколея измеряет средневзвешенное время, в течение которого инвестор должен держать облигацию до тех пор, пока приведенная стоимость денежных потоков по облигации не сравняется с суммой, уплаченной за облигацию, ее часто используют управляющие облигациями, стремящиеся управлять рисками портфеля облигаций с помощью стратегий иммунизации.

Напротив, модифицированная дюрация определяет, насколько изменяется дюрация для каждого процентного изменения доходности, при этом измеряя, насколько изменение процентных ставок влияет на цену облигации.Таким образом, модифицированная дюрация может служить мерой риска для инвесторов в облигации, приблизительно оценивая, насколько может снизиться цена облигации при увеличении процентных ставок.Важно отметить, что цены на облигации и процентные ставки находятся в обратной зависимости друг от друга.

В чем разница между Маколеем и модифицированной продолжительностью?

Дюрация Маколея — это средневзвешенный срок денежных потоков от облигации до погашения.

Модифицированная дюрация — это чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок, которая берет дюрацию Маколея и корректирует ее с учетом доходности облигации к погашению (YTM).

Всегда ли модифицированная продолжительность меньше, чем продолжительность Маколея?

Поскольку модифицированная дюрация делит модифицированную дюрацию на единицу плюс модифицированную доходность к погашению, она всегда будет меньше, чем дюрация Маколея, за исключением редкого случая, когда модифицированная доходность к погашению равна нулю, и в этом случае они оба будут одинаковыми, поскольку знаменатель будет 1 + 0% = 1.

Что такое Дюрация доллара?

Дюрация в долларах измеряет изменение стоимости облигации в долларах по отношению к изменению рыночной процентной ставки, обеспечивая прямое вычисление суммы в долларах при изменении ставок на 1%.