Macaulay Duration vs Modified Duration: Vad är skillnaden?

Macaulay Duration vs.Ändrad varaktighet: En översikt

Macaulay-durationen och den modifierade durationen används främst för att beräkna durationen på obligationer.Macaulay-durationen beräknar den vägda genomsnittliga tiden innan en obligationsinnehavare skulle få obligationens kassaflöden.Omvänt mäter den modifierade durationen en obligations priskänslighet när det sker en förändring i avkastningen till förfall.

Nyckel takeaways

  • Det finns några olika sätt att närma sig begreppet duration, eller en räntetillgångs priskänslighet för förändringar i räntesatser.
  • Macaulay-durationen är den vägda genomsnittliga löptiden för kassaflödena från en obligation och används ofta av portföljförvaltare som använder en immuniseringsstrategi.
  • Den modifierade durationen för en obligation är en justerad version av Macaulay-durationen och används för att beräkna förändringarna i en obligations duration och pris för varje procentuell förändring av avkastningen till förfall.

Macaulays varaktighet

Macaulay-durationen beräknas genom att multiplicera tidsperioden med den periodiska kupongbetalningen och dividera det resulterande värdet med 1 plus den periodiska avkastningen som höjs till tiden till förfall.Därefter beräknas värdet för varje period och läggs samman.Sedan läggs det resulterande värdet till det totala antalet perioder multiplicerat med det nominella värdet, dividerat med 1, plus den periodiska avkastningen höjt till det totala antalet perioder.Därefter divideras värdet med den aktuella obligationskursen.

MacaulayLängd = ( t = 1 n t C ( 1 + y ) t + n M ( 1 + y ) n ) Aktuellt obligationspris var: C = periodisk kupongbetalning y = periodisk avkastning M = bondens mognadsvärde n = bindningsperiodernas varaktighet start{aligned} &text{Macaulay Duration}=frac{left( sum_{t=1}^{n}{frac{t*C}{left(1+yright)^t}} + frac{n*M}{ vänster(1+yright)^n } höger)}{text{Nuvarande obligationskurs}} &textbf{där:} &C=text{periodisk kupongbetalning} &y=text{periodisk avkastning} &M=text{obligationens förfallovärde} &n=text{duration av obligationen i perioder} end{aligned} .MacaulayLängd=Aktuellt obligationspris(t=1n.(1+år)tt∗C.+(1+år)nn∗M.).var:C=periodisk kupongbetalningy=periodisk avkastningM=bondens mognadsvärden=bindningsperiodernas varaktighet.

En obligations pris beräknas genom att multiplicera kassaflödet med 1, minus 1, dividerat med 1, plus avkastningen till förfall, upphöjd till antalet perioder dividerat med den önskade avkastningen.Det resulterande värdet läggs till obligationens nominella värde, eller löptid, dividerat med 1, plus avkastningen till förfall höjt till det totala antalet perioder.

Tänk till exempel på en treårig obligation med ett löptidsvärde på 1 000 USD och en kupongränta på 6 % som betalas halvårsvis.Obligationen betalar kupongen två gånger om året och betalar kapitalbeloppet på slutbetalningen.Med tanke på detta förväntas följande kassaflöden under de kommande tre åren:

Period 1 : $ 30 Period2 : $ 30 Period3 : $ 30 Period4 : $ 30 Period5 : $ 30 Period6 : $ 1 , 030 start{aligned} &text{Period 1}: $30 &text{Period 2}: $30 &text{Period 3}: $30 &text{Period 4}: $30 &text{Period 5}: $30 &text{Period 6}: 1 030 $ end{aligned} .Period 1:$30Period2:$30Period3:$30Period4:$30Period5:$30Period6: 1 030 USD.

Med kända perioder och kassaflöden måste en diskonteringsfaktor beräknas för varje period.Detta beräknas som 1 ÷ (1 + r)n, där r är räntan och n är periodnumret i fråga.Räntan, r, sammansatt halvårsvis är 6 % ÷ 2 = 3 %.Därför skulle rabattfaktorerna vara:

Period1 Rabattfaktor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 = 0,9709 Period2DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 = 0,9426 Period3 DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 3 = 0,9151 Period4DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 4 = 0,8885 Period5 DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 5 = 0,8626 Period6 DiscountFactor : 1 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 = 0,8375 start{aligned} &text{Period 1 Rabattfaktor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0,9709 &text{Period 2 Rabattfaktor}: 1 div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0,9426 &text{Period 3 Rabattfaktor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 3 = 0,9151 &text{Period 4 Rabattfaktor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 4 = 0,8885 &text{Period 5 Rabattfaktor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 5 = 0,8626 &text{Period 6 rabattfaktor}: 1 div ( 1 + ,03 ) ^ 6 = 0,8375 end{aligned} .Period1 Rabattfaktor:1÷(1+.03)1=0,9709Period2DiscountFactor:1÷(1+.03)2=0,9426Period3 DiscountFactor:1÷(1+.03)3=0,9151Period4DiscountFactor:1÷(1+.03)4=0,8885Period5 DiscountFactor:1÷(1+.03)5=0,8626Period6 DiscountFactor:1÷(1+.03)6=0,8375.

Multiplicera sedan periodens kassaflöde med periodnumret och med dess motsvarande diskonteringsfaktor för att hitta nuvärdet av kassaflödet:

Period 1 : 1 × $ 30 × 0,9709 = $ 29.13 Period2 : 2 × $ 30 × 0,9426 = $ 56,56 Period3 : 3 × $ 30 × 0,9151 = $ 82,36 Period4 : 4 × $ 30 × 0,8885 = $ 106,62 Period5 : 5 × $ 30 × 0,8626 = $ 129,39 Period6 : 6 × $ 1 , 030 × 0,8375 = $ 5 , 175,65 Period = 1 6 = $ 5 , 579,71 = täljare börja{aligned} &text{Period 1}: 1 gånger $30 gånger 0,9709 = $29,13 &text{Period 2}: 2 gånger $30 gånger 0,9426 = $56,56 &text{Period 3}: 3 gånger $30 gånger & $text{Period 0,9151 $ }: 4 gånger 30 USD gånger 0,8885 = 106,62 USD &text{Period 5}: 5 gånger 30 USD gånger 0,8626 = 129,39 USD &text{Period 6}: 6 gånger 1 030 USD gånger 0,8375 = 5 175 USD &summa = 5 175 USD ={text 5 175_6}. } = $5 579,71 = text{täljare} end{aligned} .Period 1:1×$30×0,9709=$29,13Period2:2×$30×0,9426=$56,56Period3:3×$30×0,9151=$82,36Period4:4×$30×0,8885=$106,62Period5:5×$30×0,8626=$129,39Period6:6×$1 030×0,8375=$5 175,65Period=16.=5 579,71 USD=täljare.

Aktuellt obligationspris = PVCashFlows = 1 6 Aktuellt obligationspris = 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 1 + 30 ÷ ( 1 + . 03 ) 2 Aktuellt obligationspris = + + 1030 ÷ ( 1 + . 03 ) 6 Aktuellt obligationspris = $ 1 , 000 Aktuellt obligationspris = nämnare begin{aligned} &text{Nuvarande obligationskurs} = summa_{text{ PV Cash Flows } = 1} ^ {6} &phantom{ text{Nuvarande obligationskurs} } = 30 div ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 div ( 1 + .03 ) ^ 2 &phantom{ text{Aktuellt obligationspris} = } + cdots + 1030 div ( 1 + .03 ) ^ 6 &phantom{ text{Aktuellt obligationspris} } = $1 000 &phantom{ text{Aktuellt Obligationspris} } = text{nämnare} end{aligned} .Aktuellt obligationspris=PVCashFlows=16.Aktuellt obligationspris=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2Aktuellt obligationspris=+⋯+1030÷(1+.03)6Aktuellt obligationspris=1 000 USDAktuellt obligationspris=nämnare.

(Observera att eftersom kupongräntan och räntan är samma, kommer obligationen att handlas till pari.)

MacaulayLängd = $ 5 , 579,71 ÷ $ 1 , 000 = 5,58 begin{aligned} &text{Macaulay Duration} = 5 579,71 USD div 1 000 USD = 5,58 end{aligned} .MacaulayLängd=5 579,71$÷1 000$=5,58.

Observera att denna durationsberäkning är för 5,58 halvår, eftersom obligationen betalas ut halvårsvis.Den årliga durationen är alltså 5,58/2 =2,79 år, vilket är mindre än de tre år som obligationen förfaller.

Den modifierade varaktigheten

ModifiedDuration = MacauleyLängd ( 1 + Y T M n ) var: Y T M = avkastning fram till förfallodagen n = antal kupongperioder per år start{aligned} &text{Modified Duration}=frac{text{Macauley Duration}}{vänster(1 + frac{YTM}{n}höger)} &textbf{där:} &YTM=text{avkastning till förfall} &n =text{antal kupongperioder per år} slut{aligned} .ModifiedDuration=(1+nYTM.)MacauleyLängd.var:YTM=avkastning fram till förfallodagenn=antal kupongperioder per år.

Den modifierade durationen är en justerad version av Macaulay-durationen, som står för ändrad avkastning till löptider.Formeln för den modifierade durationen är värdet på Macaulay-durationen dividerat med 1, plus avkastningen till förfall, dividerat med antalet kupongperioder per år.Den modifierade durationen bestämmer förändringarna i en obligations duration och pris för varje procentuell förändring av avkastningen till förfallodagen.

Låt oss till exempel titta på vår obligation från exemplet ovan, som beräknades ha en Macaulay-duration på 5,58 år.Den modifierade varaktigheten för denna obligation skulle vara:

(2,79)/((1+0,06)/2) = 2,71 %

Formeln för att beräkna den procentuella förändringen i priset på obligationen är förändringen i avkastning multiplicerat med det negativa värdet av den modifierade durationen multiplicerat med 100 %.Denna resulterande procentuella förändring av obligationen, för en räntehöjning från 8% till 9%, beräknas till -2,71%.Därför, om räntorna stiger 1% över natten, förväntas priset på obligationen sjunka med 2,71%.

Modifierad löptid och ränteswappar

Modifierad duration skulle kunna förlängas för att beräkna antalet år det skulle ta en ränteswap att betala tillbaka det pris som betalats för swappen.En ränteswap är utbyte av en uppsättning kassaflöden mot en annan och baseras på räntespecifikationer mellan parterna.

Den modifierade durationen beräknas genom att dividera dollarvärdet av en förändring på en baspunkt av ett ränteswapben, eller en serie av kassaflöden, med nuvärdet av serien av kassaflöden.Värdet multipliceras sedan med 10 000.Den modifierade varaktigheten för varje serie av kassaflöden kan också beräknas genom att dividera dollarvärdet för en utgångspunktsförändring av serien av kassaflöden med det nominella värdet plus marknadsvärdet.Bråket multipliceras sedan med 10 000.

Den modifierade varaktigheten för båda benen måste beräknas för att beräkna den modifierade varaktigheten för ränteswappen.Skillnaden mellan de två modifierade durationerna är den modifierade durationen för ränteswappen.Formeln för den modifierade varaktigheten för ränteswappen är den modifierade varaktigheten för det mottagande benet minus den modifierade varaktigheten för det betalande benet.

Anta till exempel att bank A och bank B ingår en ränteswap.Den modifierade varaktigheten för den mottagande delen av en swap beräknas som nio år och den modifierade varaktigheten för den betalande delen beräknas som fem år.Den resulterande modifierade löptiden för ränteswappen är fyra år (9 år –5 år).

Viktiga skillnader

Eftersom Macaulay-varaktigheten mäter den vägda genomsnittliga tiden en investerare måste hålla en obligation tills nuvärdet av obligationens kassaflöden är lika med det belopp som betalas för obligationen, används den ofta av obligationsförvaltare som vill hantera risken i obligationsportföljen med immuniseringsstrategier.

Däremot identifierar den modifierade durationen hur mycket durationen ändras för varje procentuell förändring i avkastningen samtidigt som den mäter hur mycket en förändring i räntorna påverkar priset på en obligation.Således kan den modifierade durationen ge ett riskmått för obligationsinvesterare genom att approximera hur mycket priset på en obligation skulle kunna sjunka med en ökning av räntorna.Det är viktigt att notera att obligationspriser och räntor har ett omvänt förhållande till varandra.

Vad är skillnaden mellan Macaulay och modifierad varaktighet?

Macaulay duration är den vägda genomsnittliga löptiden för kassaflödena från en obligation.

Modifierad duration är en obligations priskänslighet för förändringar i räntor, som tar Macaulay-durationen och justerar den för obligationens avkastning till förfallodagen (YTM).

Är den ändrade varaktigheten alltid kortare än Macaulay-längden?

Eftersom modifierad duration delar den modifierade durationen med ett plus den modifierade avkastningen till förfall, kommer den alltid att vara mindre än Macaulay-durationen - utom i det sällsynta fallet om den modifierade YTM är lika med noll, i vilket fall de båda kommer att vara desamma eftersom nämnaren blir 1 + 0% = 1.

Vad är dollarvaraktighet?

Dollarduration mäter dollarförändringen i en obligations värde till en förändring i marknadsräntan, vilket ger en enkel beräkning av dollarbelopp givet en 1% förändring i räntorna.