Sannolikhetstäthetsfunktion (PDF)

Vad är en sannolikhetstäthetsfunktion (PDF)?

Sannolikhetstäthetsfunktion (PDF) är ett statistiskt uttryck som definierar sannolikhetsfördelning (sannolikheten för ett utfall) för en diskreterandomvariabel (t.ex. en aktie eller ETF) i motsats till en kontinuerlig slumpvariabel.Skillnaden mellan en diskret slumpvariabel är att du kan identifiera ett exakt värde på variabeln.

Normalfördelningen är ett vanligt exempel på en PDF, som bildar den välkända klockformen.

Inom finans använder handlare och investerare PDF-filer för att förstå hur prisavkastningen fördelas för att utvärdera deras risk och förväntade avkastningsprofil.

Nyckel takeaways

  • Sannolikhetstäthetsfunktioner är ett statistiskt mått som används för att mäta det sannolika resultatet av ett diskret värde (t.ex. priset på en aktie eller ETF).
  • PDF-filer plottas på en graf som vanligtvis liknar en klockkurva, med sannolikheten för att resultaten ligger under kurvan.
  • En diskret variabel kan mätas exakt, medan en kontinuerlig variabel kan ha oändliga värden.
  • PDF-filer kan användas för att mäta den potentiella risken/vinsten för ett visst värdepapper eller fond i en portfölj.
  • Normalfördelningen nämns ofta och bildar en klockformad kurva.

Förstå sannolikhetstäthetsfunktioner (PDF)

PDF-filer används i finans för att mäta risken för ett visst värdepapper, till exempel en enskild aktie eller ETF.

De är vanligtvis avbildade på en graf, med en normal klockkurva som indikerar neutral marknadsrisk och en klocka i vardera änden som indikerar större eller mindre risk/belöning.När PDF-filen porträtteras grafiskt, kommer området under kurvan att indikera det intervall inom vilket variabeln kommer att falla.Den totala arean i detta intervall av grafen är lika med sannolikheten för att en diskret slumpvariabel inträffar.

Närmare bestämt, eftersom den absoluta sannolikheten för att en kontinuerlig slumpmässig variabel tar ett specifikt värde är noll på grund av den oändliga uppsättningen möjliga värden som finns tillgängliga, kan värdet på en PDF användas för att bestämma sannolikheten för att en slumpvariabel faller inom ett specifikt intervall av värden.

Bild av Julie Bang © Investopedia2020

En fördelning sned åt höger sida av kurvan tyder på större uppåtriktad belöning, medan en fördelning sned åt vänster indikerar större nedåtrisk för handlare.

Sannolikhetsfördelningar kan också användas för att skapa kumulativa fördelningsfunktioner (CDF), som summerar sannolikheten för händelser kumulativt och kommer alltid att börja på noll och sluta på 100 %.

Investerare bör använda PDF-filer som ett av många verktyg för att beräkna den totala risken/vinsten i spel i sina portföljer.

Diskret vs.Kontinuerliga sannolikhetsfördelningsfunktioner

PDF-filer kan beskriva antingen diskreta eller kontinuerliga data.Skillnaden är att diskreta variabler bara kan anta specifika värden, såsom heltal, ja vs nej, tider på dygnet och så vidare.En kontinuerlig variabel däremot innehåller alla värden längs kurvan, inklusive mycket små bråkdelar eller decimaler ut till ett teoretiskt oändligt antal platser.

Diskret vs.Kontinuerlig PDF.

Bild av Julie Bang © Investopedia2020

Beräkna en sannolikhetsfördelningsfunktion

PDF-filer kännetecknas ofta av deras medelvärde, standardavvikelse, kurtos och skevhet.

  • Medelvärde: det aritmetiska medelvärdet
  • Standardavvikelse: spridningen av data om medelvärdet
  • Kurtosis: beskriver "fetheten" i PDF:ens svansar
  • Skevhet: avser avvikelser i PDF:s symmetri

Att beräkna PDF-filen och plotta den grafiskt kan involvera komplexa beräkningar som använder differentialekvationer eller integralkalkyl.I praktiken krävs grafräknare eller statistiska mjukvarupaket för att beräkna en sannolikhetsfördelningsfunktion.

Normalfördelningen

Som ett exempel är beräkningen för PDF:en av normalfördelningen som följer:

Normalfördelningsformel.

var:

  • x= värdet på variabeln eller data som undersöks och f(x) sannolikhetsfunktionen
  • μ = medelvärdet
  • σ = standardavvikelsen

En normalfördelning har alltid en skevhet = 0 och kurtosis = 3,0.

Andra sannolikhetsfördelningsfunktioner

Medan normalfördelningen ofta är den mest citerade och välkända, finns det flera andra PDF-filer.

Jämn fördelning

Den enklaste och mest populära distributionen är den enhetliga distributionen, där alla utfall har lika stor chans att inträffa.En sexsidig form har en jämn fördelning.Varje utfall har en sannolikhet på cirka 16,67 % (1/6).

Bild av Julie Bang © Investopedia2020

Binomial distribution

Binomialfördelningen representerar data som bara kan anta ett av två värden, till exempel ett myntslag (huvuden mot svansar) eller logiska uttryck som tar formen av ja/nej, på/av, etc.

Ett histogram över en binomialfördelning.C.K. Taylor

Lognormal distribution

Den lognormala fördelningen är viktig inom ekonomi eftersom den bättre beskriver faktisk tillgångsprisavkastning än standardnormalfördelningen.Denna PDF har positiv (höger) skevhet och högre kurtos.

Lognormal distribution.

Bild av Julie Bang © Investopedia2020

Poisson Distribution

Poisson-fördelningen är en PDF som används för att beskriva räknevariabler, eller sannolikheten för att ett visst antal händelser kommer att inträffa.Till exempel, hur många äpplen finns på äppelträd, hur många bin lever i en bikupa över tid, eller hur många handelsdagar en portfölj kommer att förlora 5 % eller mer.

Bild av Julie Bang © Investopedia2020

Betadistribution

Betadistributionen är en allmän typ av PDF som kan anta en mängd olika former och egenskaper, som definieras av bara två parametrar: alfa och beta.Det används ofta inom finans för att uppskatta obligatiell återvinningsgrad eller dödlighet i försäkringar.

Betadistributionsvarianter.

Exempel på en sannolikhetstäthetsfunktion

Som ett enkelt exempel på en sannolikhetsfördelning, låt oss titta på talet som observeras när två vanliga sexsidiga tärningar kastas.Varje tärning har 1/6 sannolikhet att kasta valfritt tal, ett till sex, men summan av två tärningar kommer att bilda sannolikhetsfördelningen som avbildas i bilden nedan.

Sju är det vanligaste utfallet (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Två och tolv, å andra sidan, är mycket mindre sannolika (1+1 och 6+6).

Bild av Sabrina Jiang © Investopedia2020

Vad säger en sannolikhetstäthetsfunktion (PDF) oss?

En sannolikhetstäthetsfunktion (PDF) beskriver hur sannolikt det är att observera något resultat från en datagenererande process.Till exempel, hur troligt är det att ett rättvist mynt som vänds kommer upp (50%). Eller tärningens roll att komma upp 6 (1/6 = 16,7%). En PDF kan berätta för oss vilka värden som därför är mest sannolikt att visas jämfört med de mindre sannolika utfallen.Detta kommer att ändras beroende på PDF:ens form och egenskaper.

Vad är Central Limit Theorem (CLT) och hur är det relaterat till PDF-filer?

Central limit theorem (CLT) säger att fördelningen av en slumpvariabel i ett urval kommer att börja närma sig en normalfördelning när urvalsstorleken blir större, oavsett fördelningens sanna form.Således vet vi att vända ett mynt är en binär process, beskriven av den binomiala fördelningen (huvuden eller svansar). Men om vi överväger flera myntkast, börjar oddsen att få någon speciell kombination av huvuden och svansar skilja sig.Till exempel, om vi skulle vända myntet tio gånger, är oddsen att få 5 av varje troligtvis, men att få tio huvuden i rad är extremt sällsynt.Föreställ dig 1 000 myntslag, och fördelningen närmar sig den normala klockkurvan.

Vad är en PDF kontra en CDF?

En sannolikhetstäthetsfunktion (PDF) förklarar vilka värden som sannolikt kommer att visas i en datagenereringsprocess vid en given tidpunkt eller för en given dragning.

En kumulativ distributionsfunktion (CDF) skildrar istället hur dessa marginella sannolikheter summerar, och når i slutändan 100 % (eller 1,0) av möjliga utfall.Med hjälp av en CDF kan vi se hur troligt det är att en variabels utfall kommer att vara mindre än eller lika med något förutsagt värde.

Figuren nedan visar till exempel CDF för en normalfördelning.

CDF.

Bild av Julie Bang © Investopedia2020

Poängen

Sannolikhetsfördelningsfunktioner (PDF) beskriver de förväntade värdena för slumpvariabler dragna från ett urval.Formen på PDF-filen förklarar hur troligt det är att ett observerat värde skulle ha inträffat.Normalfördelningen är ett vanligt förekommande exempel som kan beskrivas bara dess medelvärde och standardavvikelse.Andra PDF-filer är mer komplexa och nyanserade.Aktiekursavkastningen tenderar att följa en lognormal fördelning snarare än en normal, vilket indikerar att nedåtförluster är vanligare än mycket stora vinster, i förhållande till vad normalfördelningen skulle förutsäga.