ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF)

การนำทางอย่างรวดเร็ว

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) คืออะไร?

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) คือนิพจน์ทางสถิติที่กำหนดการกระจายความน่าจะเป็น (ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์) สำหรับตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่อง (เช่น หุ้น หรือ ETF) เมื่อเทียบกับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือคุณสามารถระบุค่าที่แน่นอนของตัวแปรได้

การแจกแจงแบบปกติเป็นตัวอย่างทั่วไปของ PDF ซึ่งสร้างรูปทรงโค้งระฆังที่รู้จักกันดี

ในด้านการเงิน ผู้ค้าและนักลงทุนใช้ PDF เพื่อทำความเข้าใจวิธีการกระจายผลตอบแทนของราคาเพื่อประเมินความเสี่ยงและโปรไฟล์ผลตอบแทนที่คาดหวัง

ประเด็นที่สำคัญ

  • ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเป็นการวัดทางสถิติที่ใช้ในการวัดผลลัพธ์ที่น่าจะเป็นไปได้ของมูลค่าที่ไม่ต่อเนื่อง (เช่น ราคาของหุ้นหรือ ETF)
  • ไฟล์ PDF จะถูกพล็อตบนกราฟโดยทั่วไปแล้วจะคล้ายกับเส้นโค้งรูประฆัง โดยมีความเป็นไปได้ที่ผลลัพธ์จะอยู่ใต้เส้นโค้ง
  • ตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องสามารถวัดได้อย่างแม่นยำ ในขณะที่ตัวแปรต่อเนื่องสามารถมีค่าอนันต์ได้
  • ไฟล์ PDF สามารถใช้วัดความเสี่ยง/ผลตอบแทนที่อาจเกิดขึ้นจากหลักทรัพย์หรือกองทุนเฉพาะในพอร์ต
  • การแจกแจงแบบปกติมักถูกอ้างถึง ทำให้เกิดเส้นโค้งรูประฆัง

การทำความเข้าใจฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF)

ไฟล์ PDF ถูกใช้ในด้านการเงินเพื่อวัดความเสี่ยงของหลักทรัพย์บางประเภท เช่น หุ้นแต่ละตัวหรือ ETF

โดยทั่วไปแล้วจะแสดงให้เห็นบนกราฟ โดยมีเส้นโค้งระฆังปกติแสดงถึงความเสี่ยงด้านตลาดที่เป็นกลาง และกระดิ่งที่ปลายด้านใดด้านหนึ่งแสดงถึงความเสี่ยง/ผลตอบแทนที่มากขึ้นหรือน้อยลงเมื่อ PDF เป็นภาพกราฟิก พื้นที่ใต้เส้นโค้งจะระบุช่วงเวลาที่ตัวแปรจะตกพื้นที่ทั้งหมดในช่วงเวลานี้ของกราฟเท่ากับความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่เกิดขึ้น

แม่นยำยิ่งขึ้น เนื่องจากความน่าจะเป็นสัมบูรณ์ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่รับค่าใดค่าหนึ่งเป็นศูนย์เนื่องจากชุดค่าที่เป็นไปได้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่มีอยู่ ค่าของ PDF สามารถใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่อยู่ในช่วงที่กำหนด ของค่า

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia2020

การแจกแจงเบ้ไปทางด้านขวาของเส้นโค้งแสดงถึงผลตอบแทนที่มากขึ้น ในขณะที่การแจกแจงเบ้ไปทางซ้ายบ่งชี้ถึงความเสี่ยงด้านลบที่มากขึ้นสำหรับผู้ค้า

การแจกแจงความน่าจะเป็นยังสามารถใช้เพื่อสร้างฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ซึ่งเพิ่มความน่าจะเป็นของการเกิดแบบสะสมและจะเริ่มต้นที่ศูนย์และสิ้นสุดที่ 100% เสมอ

นักลงทุนควรใช้ PDF เป็นเครื่องมือหนึ่งในการคำนวณความเสี่ยงโดยรวม/ผลตอบแทนในการเล่นในพอร์ตการลงทุนของตน

ไม่ต่อเนื่องกับฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นอย่างต่อเนื่อง

PDF สามารถอธิบายข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องได้ความแตกต่างคือตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องสามารถรับได้เฉพาะค่าเฉพาะ เช่น จำนวนเต็ม ใช่ กับ ไม่ใช่ ช่วงเวลาของวัน และอื่นๆในทางตรงกันข้าม ตัวแปรแบบต่อเนื่องจะประกอบด้วยค่าทั้งหมดตามเส้นโค้ง ซึ่งรวมถึงเศษส่วนหรือทศนิยมที่เล็กมาก ไปจนถึงจำนวนหลักที่ไม่จำกัดตามทฤษฎี

ไม่ต่อเนื่องกับPDF ต่อเนื่อง

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia2020

การคำนวณฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น

ไฟล์ PDF มักมีลักษณะเป็นค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความโด่ง และความเบ้

  • ค่าเฉลี่ย: ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
  • ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: การกระจายตัวของข้อมูลเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย
  • Kurtosis: อธิบาย "ความอ้วน" ของส่วนท้ายของ PDF
  • ความเบ้: หมายถึงการเบี่ยงเบนในความสมมาตรของ PDF

การคำนวณ PDF และการวางแผนแบบกราฟิกอาจเกี่ยวข้องกับการคำนวณที่ซับซ้อนซึ่งใช้สมการเชิงอนุพันธ์หรือแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ในทางปฏิบัติ ต้องใช้เครื่องคำนวณกราฟหรือแพ็คเกจซอฟต์แวร์ทางสถิติในการคำนวณฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น

การกระจายแบบปกติ

ตัวอย่างเช่น การคำนวณ PDF ของการแจกแจงแบบปกติมีดังนี้:

สูตรการกระจายแบบปกติ

ที่ไหน:

  • x= ค่าของตัวแปรหรือข้อมูลที่ตรวจสอบ และ f(x) ฟังก์ชันความน่าจะเป็น
  • μ = ค่าเฉลี่ย
  • σ = ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การแจกแจงแบบปกติมีความเบ้ = 0 และความโด่ง = 3.0 เสมอ

ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นอื่นๆ

แม้ว่าการแจกแจงแบบปกติมักเป็นไฟล์ PDF ที่มีผู้อ้างอิงมากที่สุดและเป็นที่รู้จักมากที่สุด

กระจายสม่ำเสมอ

การแจกแจงที่ง่ายและเป็นที่นิยมมากที่สุดคือการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ ซึ่งผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันแม่พิมพ์หกด้านมีการกระจายสม่ำเสมอแต่ละผลลัพธ์มีความน่าจะเป็นประมาณ 16.67% (1/6)

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia2020

การกระจายทวินาม

การแจกแจงแบบทวินามแสดงถึงข้อมูลที่รับค่าหนึ่งในสองค่าเท่านั้น เช่น การพลิกเหรียญ (หัวกับก้อย) หรือนิพจน์เชิงตรรกะที่อยู่ในรูปของใช่/ไม่ใช่ เปิด/ปิด เป็นต้น

ฮิสโตแกรมของการแจกแจงแบบทวินามซี.เค.เทย์เลอร์

Lognormal การกระจาย

การแจกแจงแบบ lognormal มีความสำคัญในด้านการเงินเพราะจะอธิบายผลตอบแทนของราคาสินทรัพย์จริงได้ดีกว่าการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานPDF นี้มีความเบ้ในเชิงบวก (ขวา) และความโด่งที่สูงขึ้น

การกระจาย Lognormal

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia2020

การกระจายปัวซอง

การแจกแจงแบบปัวซองเป็น PDF ที่ใช้อธิบายตัวแปรการนับ หรือความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นจำนวนหนึ่งตัวอย่างเช่น จำนวนแอปเปิ้ลที่พบในต้นแอปเปิ้ล มีผึ้งกี่ตัวที่ยังมีชีวิตอยู่ในรังผึ้งเมื่อเวลาผ่านไป หรือพอร์ตโฟลิโอจะสูญเสีย 5% ขึ้นไปในวันทำการซื้อขายกี่วัน

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia2020

การกระจายเบต้า

การแจกแจงแบบเบต้าเป็น PDF ประเภททั่วไปที่สามารถใช้ได้กับรูปร่างและลักษณะต่างๆ ตามที่กำหนดโดยพารามิเตอร์เพียงสองตัวเท่านั้น: อัลฟาและเบต้ามักใช้ในด้านการเงินเพื่อประเมินอัตราการกู้เงินผิดนัดชำระหนี้ของพันธบัตรหรืออัตราการเสียชีวิตในการประกันภัย

รูปแบบการกระจายเบต้า

ตัวอย่างฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

เป็นตัวอย่างง่ายๆ ของการแจกแจงความน่าจะเป็น ให้เราดูจำนวนที่สังเกตได้เมื่อทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานสองลูกลูกเต๋าแต่ละลูกมีความน่าจะเป็น 1/6 ที่จะทอยหมายเลขใด ๆ หนึ่งถึงหก แต่ผลรวมของลูกเต๋าสองลูกจะสร้างการกระจายความน่าจะเป็นที่แสดงในภาพด้านล่าง

เซเว่นคือผลลัพธ์ที่พบบ่อยที่สุด (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3) ในทางกลับกัน สองและสิบสองมีโอกาสน้อยกว่ามาก (1+1 และ 6+6)

ภาพโดย Sabrina Jiang © Investopedia2020

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) บอกอะไรเราบ้าง?

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) อธิบายถึงแนวโน้มที่จะสังเกตผลลัพธ์บางอย่างที่เกิดจากกระบวนการสร้างข้อมูลตัวอย่างเช่น มีความเป็นไปได้มากน้อยเพียงใดที่เหรียญที่ยุติธรรมจะพลิกหัว (50%) หรือบทบาทของผู้ตายที่จะเกิดขึ้น 6 (1/6 = 16.7%) PDF สามารถบอกเราได้ว่าค่าใดมีแนวโน้มที่จะปรากฏมากที่สุดเทียบกับผลลัพธ์ที่มีโอกาสน้อยกว่าซึ่งจะเปลี่ยนไปตามรูปร่างและลักษณะของ PDF

ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง (CLT) คืออะไรและเกี่ยวข้องกับ PDF อย่างไร

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง (CLT) ระบุว่าการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มในตัวอย่างจะเริ่มเข้าใกล้การแจกแจงแบบปกติเมื่อขนาดกลุ่มตัวอย่างมีขนาดใหญ่ขึ้น โดยไม่คำนึงถึงรูปร่างที่แท้จริงของการแจกแจงดังนั้น เราทราบดีว่าการพลิกเหรียญเป็นกระบวนการเลขฐานสอง ซึ่งอธิบายโดยการแจกแจงแบบทวินาม (หัวหรือก้อย) อย่างไรก็ตาม หากเราพิจารณาการโยนเหรียญหลายครั้ง อัตราต่อรองที่จะได้รับการผสมหัวและก้อยแบบเฉพาะเจาะจงจะเริ่มแตกต่างกันตัวอย่างเช่น หากเราต้องพลิกเหรียญสิบครั้ง โอกาสที่จะได้เหรียญละ 5 ครั้งเป็นไปได้มากที่สุด แต่การได้หัวสิบครั้งติดต่อกันนั้นหายากมากลองนึกภาพการพลิกเหรียญ 1,000 เหรียญ และการกระจายเข้าใกล้เส้นโค้งระฆังปกติ

PDF กับ CDF คืออะไร?

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) อธิบายว่าค่าใดมีแนวโน้มที่จะปรากฏในกระบวนการสร้างข้อมูล ณ เวลาใดก็ตามหรือสำหรับการเสมอกัน

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) แทนแสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นส่วนเพิ่มเหล่านี้รวมกันได้อย่างไร ในที่สุดก็ถึง 100% (หรือ 1.0) ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้การใช้ CDF เราจะเห็นได้ว่าผลลัพธ์ของตัวแปรมีโอกาสน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าที่คาดการณ์ไว้

ตัวอย่างเช่น รูปด้านล่างแสดง CDF สำหรับการแจกแจงแบบปกติ

ซีดีเอฟ

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia2020

บรรทัดล่าง

ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น (PDF) อธิบายค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มที่ดึงมาจากตัวอย่างรูปร่างของ PDF อธิบายว่ามีโอกาสเกิดขึ้นที่ค่าที่สังเกตได้มากเพียงใดการแจกแจงแบบปกติเป็นตัวอย่างที่ใช้กันทั่วไปซึ่งสามารถอธิบายได้เพียงแค่ค่าเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานPDF อื่น ๆ มีความซับซ้อนและเหมาะสมยิ่งขึ้นผลตอบแทนจากราคาหุ้นมีแนวโน้มที่จะเป็นไปตามการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัลมากกว่าการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งบ่งชี้ว่าการขาดทุนจากดาวน์ไซด์เกิดขึ้นบ่อยกว่าการได้กำไรจำนวนมาก เมื่อเทียบกับสิ่งที่การแจกแจงแบบปกติจะคาดการณ์